论文部分内容阅读
[摘 要]数学抽象是数学六大核心素养之一.概念是考查数学抽象素养的重要载体，解析几何是整个高中数学中难度最大、考核要求最综合的模块之一，解析几何概念教学是培养学生数学抽象素养的有效途径.基于此，以解析几何概念教学为例，从概念的引入、概念的理解、概念的巩固、概念的系统化等方面谈谈如何在概念教学中培养学生的数学抽象素养.
[关键词]数学抽象素养；解析几何；概念教学
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）20-0019-02
《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：“高中数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等六大核心素养.”核心素养一经提出，便引起广大高中数学教师的高度关注，而数学核心素养是在掌握数学知识的基础上，在数学活动过程中逐步形成的，笔者也尝试着在高中数学教学中有意识地加强学生数学核心素养的培养.章建跃教授说过：“重视概念教学，提升概念教学水平，其中最切实的是抓数学核心概念形成的教学，选取学生熟悉的典型实例，提供丰富材料，让学生经历完整的数学抽象过程，熟悉数学抽象的‘基本套路’，在概念学习中学会数学抽象.”也即搞好数学概念教学是实现“数学抽象”的落脚点，形成数学概念与规则、形成数学命题与模型、形成数学思想与方法以及形成数学结构与体系是数学抽象的四个表现.解析几何是整个高中数学中难度最大、考核要求最综合的模块之一，解析几何概念的获取过程是在数量关系与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系的过程，也是从事物的具体背景抽象出一般规律和结论，并转译成数学符号语言的过程，即数学抽象素养形成的过程.本文基于解析几何概念教学，从概念的引入、概念的理解、概念的巩固、概念的系统化等方面谈谈如何在概念教学中培养学生的数学抽象素养.
一、重视概念的引入，丰富学生的感受与体会
数学新概念有的源于日常生活的事物或现象，有的是在原有概念的基础上概括而成的，有的是对数学对象共同属性的抽象，有的则是为了适应数学理论发展的需要而引入的.由于数学概念用比文字语言更简练和严密的数学语言形式表达事物的本质属性，所以显得“高深莫测”.概念教学需要具体分析概念产生的背景，根据学生的认知发展规律去选择合适的引入方式，以促进学生获得初步的感性认识.
高中数学解析几何概念可采用直观图形、数学实例、应用问题等方式引入.教师在引入解析几何概念时，使用的直观材料，要尽量避免无关属性的干扰，同时要及时引导学生进行细致观察和分析，并归纳、概括出概念的本质属性，而不能过多地停留在感性认识上；要充分利用学生的几何直觉去阐明定义的合理性，特别注意给学生以准确清晰的概念表征.如圆锥曲线的概念内涵包括运动性、变化性和过程性，教师应通过学生的活动与操作，或适当采用现代教育技术（如几何画板）展现圆锥曲线图像的动态形成过程，引导学生观察分析影响其图像变化的因子，从而促进学生对圆锥曲线概念的认识与理解.一些数学概念蕴含着深刻的数学思想和丰富的文化价值，引入这些概念时要注意挑选合适的材料予以渗透，逐步丰富学生的感受与体会.
例如，在引入椭圆概念时，可以让学生列举生活中的椭圆实例，通过“嫦娥”月球探测卫星的运动轨迹的视频演示引入，让学生意识到椭圆在科技和生活中的广泛应用，使之逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值.在圆的教学中，可以通过动手实验引入圆的概念，如让学生动手用图钉把绳子的一端固定，另一端则绑一支铅笔，然后紧拉绳子移动笔尖画圆形，最后归纳定义.概念的形成过程，实际就是对概念进行数学抽象和概括的过程，教师应通过开展观察实物、构建模型、画图形等活动引入新概念，让学生在感性认识的基础上强化对概念的理解，进而打通数学核心概念教学与数学抽象素养培养的通道.
二、重视概念的形成，强化学生对概念本质的理解
概念的形成就是要促进学生准确地掌握概念的内涵和外延，以实现对数学概念本质的理解.数学是揭示现实世界空间形式与数学关系本质属性的思维形式，内涵和外延是构成数学概念的两个重要方面.数学概念的内涵是反映数学对象的本质属性的总和，外延则是数学概念所反映的对象的范围.两者分别揭示了对概念质与量的规定，充分揭示概念的内涵和外延有助于加深学生对概念的理解.
例如，圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，而深刻理解圆锥曲线概念的内涵与外延又是学习的重点.对于椭圆，教材这样定义：平面内与两定点[F1]、[F2]的距离之和（[MF1 MF2=2a]）等于常数（大于[F1F2=2c]）的点的轨迹叫作椭圆.它的内涵：一是到两个定点的距离和是常数；二是常数大于两定点距离.它的外延是不论定点在何处，只常数大于两定点之间的距离的所有椭圆.设问：“当常数小于或等于两定点的距离时又是什么轨迹呢？”通过实验探究发现，当[MF1 MF2]为常数时，轨迹不一定为椭圆.类比双曲线的定义：平面内到两个定点的距离之差的绝对值是常数（小于定点距离）的点的轨迹称为双曲线.其内涵：一是强调到两个定点距离差的绝对值，保证了双曲线的两支；二是此常数必大于0且小于定点距离，外延是以定点为焦点的所有双曲线.这样，学生对圆锥曲线的核心概念有了既有“质”又有“量”的完整统一的认识和理解.另外，由于概念内涵的多重性，教师还可以引导学生从定义出发，推演概念的其他本质属性，用不同的方式描述概念，表示概念，寻找概念新的等价定义，以丰富学生对概念的认识和深化学生对概念的理解，从而促进学生理解圆锥曲线概念的本质.
三、充分利用例题和变式习题，帮助学生巩固和深化概念
对高中生来说，不可能一下子就建立起数学概念，这需要一个过程.待学生建立数学概念后，教师应及时安排相应的练习予以巩固.概念的巩固练习应循序渐进地进行，整体上可以分为知觉水平上的低层次运用和思维水平上的高层次运用两个层次.对数学概念的肯定例证加以辨识属于概念知觉层次上的运用，对这一类练习的选择一定要具有代表性和典型性，这些供鉴别的实例，既要包括正例，也要包括反例.对于一些容易混淆的概念群，教师在教学过程中要重点做区分对比，分门别类地指出它们的异同.为了凸显概念的本质属性，概念的辨析应采用变式教学方式，从不同角度和方式变换事物的非本质属性，以便揭示事物的本質特征. 例如，在抛物线概念教学中，可将例题“若动点[M（x，y）]与定点[F（2，0）]和定直线[l：x 2=0]的距离相等，则[M]点的轨迹是什么？”变式为“1.若动点[M（x，y）]与定点[F（2，0）]比它到定直线[l：x 3=0] 的距离小1，则[M]点的轨迹是什么？2.若动点[M（x，y）]与定点[F（2，3）]和定直线[l：x y-3=0]的距离相等，则[M]点的轨迹是什么？”然后让学生自主练习.这属于概念思维层次上的运用.在这过程中，教师选用的例题要注意体现概念的本质特征，设置变式练习时要从多个层次考虑，让学生能够在解决问题的过程中加深对概念的理解，厘清知识间的内在联系.
四、通过网络结构图式，使概念系统化
现代教育认知理论认为，人脑中的知识结构在很大程度上决定着人的认知能力，知识的结构层次越高，人的认知能力就越强.学生头脑中的数学知识结构，归根到底是学生通过自己的数学思维逐步建立起来的.而数学基本概念往往是成群结对地出现，任何概念都要在某个概念系统中发挥作用，概念體系的形成，有利于学生弄清概念之间的区别与联系，有助于学生掌握概念的本质内涵，也有助于学生把握概念的外延，还能促进学生对概念的记忆、保持和提取，同时澄清对概念的模糊认识，扩展学生头脑中的知识结构.因此，数学教师在解析几何概念教学中要发挥主导作用，适当组织学生对所学概念进行归纳和总结，使之条理化和系统化，从而完善认知结构.构建概念体系一般可以从四个方面考虑：相邻概念形成体系；相反概念形成体系；从属概念形成体系；并列概念形成体系.为了整体展示概念间多方面的逻辑体系，可采用网络结构图的方式.高中解析几何的核心概念为曲线的方程和方程的曲线，具体是直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线及其方程，其基本方法是几何问题转化为代数问题，代数结构几何化，基本思想是数形结合思想.因此，在教学过程中教师应通过网络结构图式，帮助学生形成有序的概念结构，提高知识结构的层次，培养学生的数学抽象素养.
综上可知，概念教学是数学教学的基石，而形成概念的过程是典型的数学思维过程，教师在教学过程中完成知识传授的同时更要强化对数学核心素养的培养.培养学生的数学抽象素养是一个长期的过程，在数学概念教学中有意识地加强训练，不断地坚持下去，就能将数学核心素养的培养落到实处，而数学核心素养的长期浸润则有助于学生数学能力和数学思维的形成.
[ 参 考 文 献 ]
[1] 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社，2017.
[2] 章建跃.高中数学教材落实核心素养的几点思考[J].课程·教材·教法，2016（7）：44-49.
[3] 李昌官.核心素养视角下的解析几何起始课[J].中学数学教学参考，2016（28）：8-10.
[4] 熊惠民.中学数学教学设计与案例研究[M].北京：科学出版社，2014.
（责任编辑 黄春香）
[关键词]数学抽象素养；解析几何；概念教学
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）20-0019-02
《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：“高中数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等六大核心素养.”核心素养一经提出，便引起广大高中数学教师的高度关注，而数学核心素养是在掌握数学知识的基础上，在数学活动过程中逐步形成的，笔者也尝试着在高中数学教学中有意识地加强学生数学核心素养的培养.章建跃教授说过：“重视概念教学，提升概念教学水平，其中最切实的是抓数学核心概念形成的教学，选取学生熟悉的典型实例，提供丰富材料，让学生经历完整的数学抽象过程，熟悉数学抽象的‘基本套路’，在概念学习中学会数学抽象.”也即搞好数学概念教学是实现“数学抽象”的落脚点，形成数学概念与规则、形成数学命题与模型、形成数学思想与方法以及形成数学结构与体系是数学抽象的四个表现.解析几何是整个高中数学中难度最大、考核要求最综合的模块之一，解析几何概念的获取过程是在数量关系与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系的过程，也是从事物的具体背景抽象出一般规律和结论，并转译成数学符号语言的过程，即数学抽象素养形成的过程.本文基于解析几何概念教学，从概念的引入、概念的理解、概念的巩固、概念的系统化等方面谈谈如何在概念教学中培养学生的数学抽象素养.
一、重视概念的引入，丰富学生的感受与体会
数学新概念有的源于日常生活的事物或现象，有的是在原有概念的基础上概括而成的，有的是对数学对象共同属性的抽象，有的则是为了适应数学理论发展的需要而引入的.由于数学概念用比文字语言更简练和严密的数学语言形式表达事物的本质属性，所以显得“高深莫测”.概念教学需要具体分析概念产生的背景，根据学生的认知发展规律去选择合适的引入方式，以促进学生获得初步的感性认识.
高中数学解析几何概念可采用直观图形、数学实例、应用问题等方式引入.教师在引入解析几何概念时，使用的直观材料，要尽量避免无关属性的干扰，同时要及时引导学生进行细致观察和分析，并归纳、概括出概念的本质属性，而不能过多地停留在感性认识上；要充分利用学生的几何直觉去阐明定义的合理性，特别注意给学生以准确清晰的概念表征.如圆锥曲线的概念内涵包括运动性、变化性和过程性，教师应通过学生的活动与操作，或适当采用现代教育技术（如几何画板）展现圆锥曲线图像的动态形成过程，引导学生观察分析影响其图像变化的因子，从而促进学生对圆锥曲线概念的认识与理解.一些数学概念蕴含着深刻的数学思想和丰富的文化价值，引入这些概念时要注意挑选合适的材料予以渗透，逐步丰富学生的感受与体会.
例如，在引入椭圆概念时，可以让学生列举生活中的椭圆实例，通过“嫦娥”月球探测卫星的运动轨迹的视频演示引入，让学生意识到椭圆在科技和生活中的广泛应用，使之逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值.在圆的教学中，可以通过动手实验引入圆的概念，如让学生动手用图钉把绳子的一端固定，另一端则绑一支铅笔，然后紧拉绳子移动笔尖画圆形，最后归纳定义.概念的形成过程，实际就是对概念进行数学抽象和概括的过程，教师应通过开展观察实物、构建模型、画图形等活动引入新概念，让学生在感性认识的基础上强化对概念的理解，进而打通数学核心概念教学与数学抽象素养培养的通道.
二、重视概念的形成，强化学生对概念本质的理解
概念的形成就是要促进学生准确地掌握概念的内涵和外延，以实现对数学概念本质的理解.数学是揭示现实世界空间形式与数学关系本质属性的思维形式，内涵和外延是构成数学概念的两个重要方面.数学概念的内涵是反映数学对象的本质属性的总和，外延则是数学概念所反映的对象的范围.两者分别揭示了对概念质与量的规定，充分揭示概念的内涵和外延有助于加深学生对概念的理解.
例如，圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，而深刻理解圆锥曲线概念的内涵与外延又是学习的重点.对于椭圆，教材这样定义：平面内与两定点[F1]、[F2]的距离之和（[MF1 MF2=2a]）等于常数（大于[F1F2=2c]）的点的轨迹叫作椭圆.它的内涵：一是到两个定点的距离和是常数；二是常数大于两定点距离.它的外延是不论定点在何处，只常数大于两定点之间的距离的所有椭圆.设问：“当常数小于或等于两定点的距离时又是什么轨迹呢？”通过实验探究发现，当[MF1 MF2]为常数时，轨迹不一定为椭圆.类比双曲线的定义：平面内到两个定点的距离之差的绝对值是常数（小于定点距离）的点的轨迹称为双曲线.其内涵：一是强调到两个定点距离差的绝对值，保证了双曲线的两支；二是此常数必大于0且小于定点距离，外延是以定点为焦点的所有双曲线.这样，学生对圆锥曲线的核心概念有了既有“质”又有“量”的完整统一的认识和理解.另外，由于概念内涵的多重性，教师还可以引导学生从定义出发，推演概念的其他本质属性，用不同的方式描述概念，表示概念，寻找概念新的等价定义，以丰富学生对概念的认识和深化学生对概念的理解，从而促进学生理解圆锥曲线概念的本质.
三、充分利用例题和变式习题，帮助学生巩固和深化概念
对高中生来说，不可能一下子就建立起数学概念，这需要一个过程.待学生建立数学概念后，教师应及时安排相应的练习予以巩固.概念的巩固练习应循序渐进地进行，整体上可以分为知觉水平上的低层次运用和思维水平上的高层次运用两个层次.对数学概念的肯定例证加以辨识属于概念知觉层次上的运用，对这一类练习的选择一定要具有代表性和典型性，这些供鉴别的实例，既要包括正例，也要包括反例.对于一些容易混淆的概念群，教师在教学过程中要重点做区分对比，分门别类地指出它们的异同.为了凸显概念的本质属性，概念的辨析应采用变式教学方式，从不同角度和方式变换事物的非本质属性，以便揭示事物的本質特征. 例如，在抛物线概念教学中，可将例题“若动点[M（x，y）]与定点[F（2，0）]和定直线[l：x 2=0]的距离相等，则[M]点的轨迹是什么？”变式为“1.若动点[M（x，y）]与定点[F（2，0）]比它到定直线[l：x 3=0] 的距离小1，则[M]点的轨迹是什么？2.若动点[M（x，y）]与定点[F（2，3）]和定直线[l：x y-3=0]的距离相等，则[M]点的轨迹是什么？”然后让学生自主练习.这属于概念思维层次上的运用.在这过程中，教师选用的例题要注意体现概念的本质特征，设置变式练习时要从多个层次考虑，让学生能够在解决问题的过程中加深对概念的理解，厘清知识间的内在联系.
四、通过网络结构图式，使概念系统化
现代教育认知理论认为，人脑中的知识结构在很大程度上决定着人的认知能力，知识的结构层次越高，人的认知能力就越强.学生头脑中的数学知识结构，归根到底是学生通过自己的数学思维逐步建立起来的.而数学基本概念往往是成群结对地出现，任何概念都要在某个概念系统中发挥作用，概念體系的形成，有利于学生弄清概念之间的区别与联系，有助于学生掌握概念的本质内涵，也有助于学生把握概念的外延，还能促进学生对概念的记忆、保持和提取，同时澄清对概念的模糊认识，扩展学生头脑中的知识结构.因此，数学教师在解析几何概念教学中要发挥主导作用，适当组织学生对所学概念进行归纳和总结，使之条理化和系统化，从而完善认知结构.构建概念体系一般可以从四个方面考虑：相邻概念形成体系；相反概念形成体系；从属概念形成体系；并列概念形成体系.为了整体展示概念间多方面的逻辑体系，可采用网络结构图的方式.高中解析几何的核心概念为曲线的方程和方程的曲线，具体是直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线及其方程，其基本方法是几何问题转化为代数问题，代数结构几何化，基本思想是数形结合思想.因此，在教学过程中教师应通过网络结构图式，帮助学生形成有序的概念结构，提高知识结构的层次，培养学生的数学抽象素养.
综上可知，概念教学是数学教学的基石，而形成概念的过程是典型的数学思维过程，教师在教学过程中完成知识传授的同时更要强化对数学核心素养的培养.培养学生的数学抽象素养是一个长期的过程，在数学概念教学中有意识地加强训练，不断地坚持下去，就能将数学核心素养的培养落到实处，而数学核心素养的长期浸润则有助于学生数学能力和数学思维的形成.
[ 参 考 文 献 ]
[1] 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社，2017.
[2] 章建跃.高中数学教材落实核心素养的几点思考[J].课程·教材·教法，2016（7）：44-49.
[3] 李昌官.核心素养视角下的解析几何起始课[J].中学数学教学参考，2016（28）：8-10.
[4] 熊惠民.中学数学教学设计与案例研究[M].北京：科学出版社，2014.
（责任编辑 黄春香）