立体几何是平面几何的推广和发展，因此解决立体几何问题的基本思考方法是：寻找正确的手段和方法，将它转化为平面几何去解决。立体几何中的三个公理，特别是公理3及其三个推论，是立体图形转化为平面的理论依据。立体图形平面化是立体几何中主要的转化方法，它主要表现在以下几方面：
　　1.空间角的平面化。
　　空间角是指异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的总称。这三个概念的定义，为我们把空间角转化为平面角提供理论依据和具体的方法。因此，在一个问题中，如果条件或结论出现空间角的概念，首先要以概念为指导作出有关的空间角，然后逐步转化为平面角去解决。
　　例1：底面是等腰梯形的四棱锥S-ABCD，AD=BC，AB=2CD=2SD，∠DAB=60°，SD⊥底面ABCD。求：（1）侧面SAB与底面ABCD所成二面角的大小；
　　（2）侧棱SB与底面ABCD所成的角；
　　（3）异面直线SB和AD所成的角。
　　解题思路：
　　（1）作SE⊥AB交AB于E，连结DE。则∠DES即为所求二面角的平面角。
　　（2）连接SB，DB，则∠SBD即为所求的直线与平面所成的角。
　　（3）作BF∥AD交DC延长线于F。连接SF，则∠SBF即为异面直线所成的角。
　　2.空间距离的平面化。
　　立体几何中的距离问题，根据它们的定义都可以转化为两点间的距离问题，这就是空间距离平面化的理论依据。例如求异面直线距离的基本方法是：或转化为求它们公垂线段的长；或转化为求直线平行于平面间的距离；或转化为求二平行平面间的距离。而这三种方法最终又转化为求两点间的距离。
　　例2：正四棱锥V-ABCD的底面边长为2，高为3，E和F分别是BC和CD的中点。求：（1）AB和VC所成的角的正切与距离；
　　（2）点C到截面VEF的距离。
　　作斜高VF，AB和VC的距离转化为AB和平面VCD的距离。作斜高VK，所以又转化为求K点到平面VCD的距离。作KM⊥VF交VF于M，于是又转化为求等腰△VKF一腰上的高KM（即，点K与M的距离）。那么，点C到截面VEF的距离就不难得证。
　　第（1）题用的是面积的等积变换，第（2）题用的是体积的等积变换。不论哪一种变换，本质上是一致的，都是知道面积或体积后，求点到线的距离，或求点到面的距离。当然，这种等积变换一般只适用于三角形和三棱锥。
　　3.作特征平面把空间图形平面化。
　　旋转体和多面体以及由它们组合的几何体，常常有数量关系比较集中的特征平面．如旋转体的轴截面，直棱柱的底面，正棱锥的直角三角形，正棱台的直角梯形等都是特征平面。因此在解决上述图形或由它们组合之后的图形的问题时，经常是通过作特征平面，使空间图形平面化，然后用平面几何的方法去解决。但在由多面体和旋转体所组成的几何体中，如何作出特征平面，则要因题而异。
　　例3：已知球的半径为R，求半球内接正方体的棱长。
　　略解：过正方体的对角面所在的平面作一截面，得平面图形（图3）。
　　4.“展平”。
　　“展平”是空间图形平面化常用的方法之一，如经常把圆柱、圆锥和圆台的侧面展开而得矩形、扇形和扇环的图形等，以解决有关的问题。有时多面体的问题也通过“展平”的方法去解决。
　　例4：在底面半径为5，母线为10的圆锥中，AB为底面直径，P为顶点。从点A绕锥面到母线PB的中点M。如图4（a）求：（1）最短线的长；
　　（2）点P到这最短线的距离。
　　将圆锥的侧面展开为图4（b）。作PC⊥AM交AM于点C。
　　因为PC·AM=AP·PM，所以PC=2。
　　通过转化的手段把待解决的问题转化为已经解决或比较容易解决的问题，只是在原则上教给我们一种解决数学问题的基本思考方法，至于对每一个具体问题如何去实现这种转化过程，仍然面临着如何寻找正确的化归的途径和选择恰当的转化手段等技巧问题。（作者单位 陕西省横山县第三中学）
　　
　　责任编辑 杨博
　　
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