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带电粒子在有界磁场中的运动，要充分运用数学知识，尤其是几何中的圆知识，切线、弦、相交、相切、磁场的圆、轨迹的圆等知识，构建出粒子运动的物理学模型，归纳出带电粒子在有界磁场中的题目类型，总结出求解此类问题的一般方法与规律.
一、带电粒子在圆形磁场中运动
例1 电视机的显像管中，电子（质量为[m]，带电量为[e]）束的偏转是用磁偏转技术实现的. 电子束经过电压为[U]的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图1所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为[O]，半径为[r]. 当不加磁场时，电子束将通过[O]点打到屏幕的中心[M]点. 为了让电子束射到屏幕边缘[P]，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度[θ]，此时磁场的磁感应强度[B]应为多少？
[电子束][- +] [图1][图2]
分析 本题给定的磁场区域为圆形，粒子入射方向已知，则由对称性，出射方向一定沿径向，而粒子出磁场后做匀速直线运动，相当于知道了出射方向，作入射方向和出射方向的垂线即可确定圆心，构建出与磁场区域半径[r]和轨迹半径[R]有关的直角三角形即可求解.
解析 如图2所示，电子在匀强磁场中做圆周运动，圆周上的两点[a、b]分别为进入和射出的点. 做[a、b]点速度的垂线，交点[O1]即为轨迹圆的圆心.
设电子进入磁场时的速度为[v]，对电子在电场中的运动过程，有[eU=mv22]
对电子在磁场中的运动（设轨道半径为[R]），有
[evB=mv2R]
由图可知，偏转角[θ]与[r、R]的关系为[tanθ2=rR]
联立以上三式，解得[B=1r2mUetanθ2]
点拨 本题为基本的带电粒子在磁场中的运动，题目已知入射方向，出射方向要由粒子射出磁场后做匀速直线运动打到[P]点判断出，然后根据第一种确定圆心的方法即可求解.
二、带电粒子在三角形磁场中运动
例2 一质量[m]、带电[q]的粒子以速度[v0]从[A]点沿等边三角形[ABC]的[AB]方向射入强度为[B]的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿[BC]射出，求圆形磁场区域的最小面积.
分析 由题中条件求出粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为一定，故作出粒子沿[AB]进入磁场而从[BC]射出磁场的运动轨迹如图3中虚线圆所示，只要小的一段圆弧[PQ]能处于磁场中即能完成题中要求；故由直径是圆的最大弦可得圆形磁场的最小区域必为以直线[PQ]为直径的圆如图3中实线圆所示.
图3
解析 由题意知，圆形磁场区域的最小面积为图中实线所示的圆的面积.
因[△ABC]为等边三角形，故图中[α=30°]
则[2r=PQ=2Rcosα=3mv0qB]
故最小磁场区域的面积为[S=πr2=3πm2v204q2B2]
点拨 根据轨迹确定磁场区域，把握住“直径是圆中最大的弦”.
三、带电粒子在环形磁场中运动
例3 核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）. 如图4所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内. 设环状磁场的内半径为[R1]=0.5m，外半径[R2]=1.0m，磁场的磁感应强度[B]=1.0T，若被束缚带电粒子的比荷为[qm]=4×[107]C/kg，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度. 试计算：
[× ×
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图4
（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度；
（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度.
分析 本题属于极值类问题，寻求“临界轨迹”是解题的关键. 要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切；要使所有粒子都不穿越磁场，应保证沿内圆切线方向射出的粒子不穿越磁场，即运动轨迹与内、外圆均相切.
解析 （1）轨迹如图4所示
由图中知[r21+R21=（R2-r1）2]，解得[r1=0.375m]
由[Bqv1=mv21r1]，得[v1=Bqr1m=1.5×107m/s]
所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为[v1=1.5×107m/s]
（2）当粒子以[v2]的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以[v1]速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图5所示.
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× × ]
图5
由图中知[r2=R2-R12=0.25m]
由[Bqv2=mv22r2]，得[v2=Bqr2m=1.0×107m/s]
即所有粒子不能穿越磁场的最大速度.
点拨 带电粒子在有界磁场中运动时，运动轨迹和磁场边界“相切”往往是临界状态.
四、带电粒子在有孔磁场中运动
例4 如图6所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝[a、b、c]和[d]，外筒的外半径为[r]. 在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感应强度的大小为[B]. 在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场. 一质量为[m]、带电量为[+q]的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝[a]的[S]点出发，初速度为零. 如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点[S]，则两电极之间的电压[U]应是多少？（不计重力，整个装置在真空中） [× × × × × ×
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图6
分析 带电粒子从[S]点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝[a]而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动. 粒子再回到[S]点的条件是能沿径向穿过狭缝[d]. 只要穿过了[d]，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经[d]重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过[c、b]，再回到S点.
图7
解析 如图7所示，设粒子进入磁场区的速度大小为[v]，根据动能定理，有[qU=12mv2]
设粒子做匀速圆周运动的半径为[R]，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有[Bqv=mv2R]
由上面分析可知，要回到[S]点，粒子从[a]到[d]必经过[34]圆周，所以半径[R]必定等于筒的外半径[r]，即[R=r].由以上各式，解得[U=B2qr22m]
点拨 根据题意及带电粒子匀速圆周运动的特点，画出粒子的运动轨迹是解决此类问题的关键所在.
五、带电粒子在半边界磁场中运动
例5 如图8所示，[S]为电子射线源能在图示纸面上和360°范围内向各个方向发射速率相等的质量为m、带电-e的电子，MN是一块足够大的竖直挡板且与S的水平距离OS=L，挡板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场.
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图8 图9
（1）若电子的发射速率为[v0]，要使电子一定能经过点O，则磁场的磁感应强度B应满足的条件？
（2）若磁场的磁感应强度为B，要使S发射出的电子能到达档板，则电子的发射速率多大？
（3）若磁场的磁感应强度为B，从S发射出的电子的速度为[2eBLm]，则档板上出现电子的范围多大？
分析 电子从点[S]发出后必受到洛伦兹力作用而在纸面上作匀速圆周运动，由于电子从点[S]射出的方向不同将使其受洛伦兹力方向不同，导致电子的轨迹不同，分析知只有从点[S]向与[SO]成锐角且位于[SO]上方发射出的电子才可能经过点[O]；
由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹构成绕[S]点旋转的一动态圆，动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图9所示，最低点为动态圆与[MN]相切时的交点，最高点为动态圆与[MN]相割，且[SP2]为直径时[P]为最高点.
解析 （1）要使电子一定能经过点[O]，即[SO]为圆周的一条弦，则电子圆周运动的轨道半径必满足[R≥L2]，由[mv0eB≥L2]，得[B≤2mv0eL]
（2）要使电子从[S]李维发出后能到达档板，则电子至少能到达档板上的[O]点，故仍有粒子圆周运动半径[R≥L2]， 由[mv0eB≥L2]，有[v0≥eBL2m]
（3）当从[S]发出的电子的速度为[2eBLm]时，电子在磁场中的运动轨迹半径[R/=mvqB=2L]
作出图示的两临界轨迹[SP1]，[SP2]，故电子击中档板的范围在[P1P2]间，则
对[SP1]弧由图知[OP1=（2L）2-L2=3L]
对[SP2]弧由图知[OP2=（4L）2-L2=15L]
点拨 本题利用了动态园法寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径[R0]”，然后利用粒子运动的实际轨道半径[R]与[R0]的大小关系确定范围.
一、带电粒子在圆形磁场中运动
例1 电视机的显像管中，电子（质量为[m]，带电量为[e]）束的偏转是用磁偏转技术实现的. 电子束经过电压为[U]的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图1所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为[O]，半径为[r]. 当不加磁场时，电子束将通过[O]点打到屏幕的中心[M]点. 为了让电子束射到屏幕边缘[P]，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度[θ]，此时磁场的磁感应强度[B]应为多少？
[电子束][- +] [图1][图2]
分析 本题给定的磁场区域为圆形，粒子入射方向已知，则由对称性，出射方向一定沿径向，而粒子出磁场后做匀速直线运动，相当于知道了出射方向，作入射方向和出射方向的垂线即可确定圆心，构建出与磁场区域半径[r]和轨迹半径[R]有关的直角三角形即可求解.
解析 如图2所示，电子在匀强磁场中做圆周运动，圆周上的两点[a、b]分别为进入和射出的点. 做[a、b]点速度的垂线，交点[O1]即为轨迹圆的圆心.
设电子进入磁场时的速度为[v]，对电子在电场中的运动过程，有[eU=mv22]
对电子在磁场中的运动（设轨道半径为[R]），有
[evB=mv2R]
由图可知，偏转角[θ]与[r、R]的关系为[tanθ2=rR]
联立以上三式，解得[B=1r2mUetanθ2]
点拨 本题为基本的带电粒子在磁场中的运动，题目已知入射方向，出射方向要由粒子射出磁场后做匀速直线运动打到[P]点判断出，然后根据第一种确定圆心的方法即可求解.
二、带电粒子在三角形磁场中运动
例2 一质量[m]、带电[q]的粒子以速度[v0]从[A]点沿等边三角形[ABC]的[AB]方向射入强度为[B]的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿[BC]射出，求圆形磁场区域的最小面积.
分析 由题中条件求出粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为一定，故作出粒子沿[AB]进入磁场而从[BC]射出磁场的运动轨迹如图3中虚线圆所示，只要小的一段圆弧[PQ]能处于磁场中即能完成题中要求；故由直径是圆的最大弦可得圆形磁场的最小区域必为以直线[PQ]为直径的圆如图3中实线圆所示.
图3
解析 由题意知，圆形磁场区域的最小面积为图中实线所示的圆的面积.
因[△ABC]为等边三角形，故图中[α=30°]
则[2r=PQ=2Rcosα=3mv0qB]
故最小磁场区域的面积为[S=πr2=3πm2v204q2B2]
点拨 根据轨迹确定磁场区域，把握住“直径是圆中最大的弦”.
三、带电粒子在环形磁场中运动
例3 核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）. 如图4所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内. 设环状磁场的内半径为[R1]=0.5m，外半径[R2]=1.0m，磁场的磁感应强度[B]=1.0T，若被束缚带电粒子的比荷为[qm]=4×[107]C/kg，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度. 试计算：
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（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度；
（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度.
分析 本题属于极值类问题，寻求“临界轨迹”是解题的关键. 要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切；要使所有粒子都不穿越磁场，应保证沿内圆切线方向射出的粒子不穿越磁场，即运动轨迹与内、外圆均相切.
解析 （1）轨迹如图4所示
由图中知[r21+R21=（R2-r1）2]，解得[r1=0.375m]
由[Bqv1=mv21r1]，得[v1=Bqr1m=1.5×107m/s]
所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为[v1=1.5×107m/s]
（2）当粒子以[v2]的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以[v1]速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图5所示.
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由图中知[r2=R2-R12=0.25m]
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即所有粒子不能穿越磁场的最大速度.
点拨 带电粒子在有界磁场中运动时，运动轨迹和磁场边界“相切”往往是临界状态.
四、带电粒子在有孔磁场中运动
例4 如图6所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝[a、b、c]和[d]，外筒的外半径为[r]. 在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感应强度的大小为[B]. 在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场. 一质量为[m]、带电量为[+q]的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝[a]的[S]点出发，初速度为零. 如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点[S]，则两电极之间的电压[U]应是多少？（不计重力，整个装置在真空中） [× × × × × ×
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分析 带电粒子从[S]点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝[a]而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动. 粒子再回到[S]点的条件是能沿径向穿过狭缝[d]. 只要穿过了[d]，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经[d]重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过[c、b]，再回到S点.
图7
解析 如图7所示，设粒子进入磁场区的速度大小为[v]，根据动能定理，有[qU=12mv2]
设粒子做匀速圆周运动的半径为[R]，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有[Bqv=mv2R]
由上面分析可知，要回到[S]点，粒子从[a]到[d]必经过[34]圆周，所以半径[R]必定等于筒的外半径[r]，即[R=r].由以上各式，解得[U=B2qr22m]
点拨 根据题意及带电粒子匀速圆周运动的特点，画出粒子的运动轨迹是解决此类问题的关键所在.
五、带电粒子在半边界磁场中运动
例5 如图8所示，[S]为电子射线源能在图示纸面上和360°范围内向各个方向发射速率相等的质量为m、带电-e的电子，MN是一块足够大的竖直挡板且与S的水平距离OS=L，挡板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场.
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图8 图9
（1）若电子的发射速率为[v0]，要使电子一定能经过点O，则磁场的磁感应强度B应满足的条件？
（2）若磁场的磁感应强度为B，要使S发射出的电子能到达档板，则电子的发射速率多大？
（3）若磁场的磁感应强度为B，从S发射出的电子的速度为[2eBLm]，则档板上出现电子的范围多大？
分析 电子从点[S]发出后必受到洛伦兹力作用而在纸面上作匀速圆周运动，由于电子从点[S]射出的方向不同将使其受洛伦兹力方向不同，导致电子的轨迹不同，分析知只有从点[S]向与[SO]成锐角且位于[SO]上方发射出的电子才可能经过点[O]；
由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹构成绕[S]点旋转的一动态圆，动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图9所示，最低点为动态圆与[MN]相切时的交点，最高点为动态圆与[MN]相割，且[SP2]为直径时[P]为最高点.
解析 （1）要使电子一定能经过点[O]，即[SO]为圆周的一条弦，则电子圆周运动的轨道半径必满足[R≥L2]，由[mv0eB≥L2]，得[B≤2mv0eL]
（2）要使电子从[S]李维发出后能到达档板，则电子至少能到达档板上的[O]点，故仍有粒子圆周运动半径[R≥L2]， 由[mv0eB≥L2]，有[v0≥eBL2m]
（3）当从[S]发出的电子的速度为[2eBLm]时，电子在磁场中的运动轨迹半径[R/=mvqB=2L]
作出图示的两临界轨迹[SP1]，[SP2]，故电子击中档板的范围在[P1P2]间，则
对[SP1]弧由图知[OP1=（2L）2-L2=3L]
对[SP2]弧由图知[OP2=（4L）2-L2=15L]
点拨 本题利用了动态园法寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径[R0]”，然后利用粒子运动的实际轨道半径[R]与[R0]的大小关系确定范围.