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【中图分类号】G633.3 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）27-0133-02
分数除法是小学数学的一个难点，特别是当分率与具体数量同为分数时，学生更感觉无所适从。为什么在我们看来非常明显的数量关系，学生却困惑难解？我认为这里既有教学的原因——分数意义建构不完整，也有教材的问题——编排缺乏系统性。
一、缘起
分数除法单元检测中有这样一题“李明分钟跑步千米。他平均每分钟跑多少千米？他跑1千米要多少分钟？”竟然有一半的同学出现错误。类似这样的问题还有很多，学生总是闹不清楚该用谁除以谁。这引起了我的思考，是学生思维发展没有达到解决此类问题所需的水平，还是教师教学失误？我做了进一步的研究，以期找到原因，使学生掌握分数除法。
二、思考
是什么造成了学生的困难？我觉得有以下几个原因：
1.认知水平的影响
（1）直观的除法与抽象的分数
无论整数除法还是分数除法，共同的本质是除法运算。为什么整数除法学生的思路是清楚的，而到了分数除法中就糊涂了呢？
当学生面对“一台织布机小时可以织布米”这样的情境时，无论是“米÷小时”还是“小时÷米”都无法用平均分来解释，故无法顺利地将新知纳入已有的经验中。
是什么造成分数除法与整数除法的割裂呢？再看学生分数概念的形成过程。三年级第一次接触分数时，是这样认识分数的“把一块月饼平均分成两份，每份是这块月饼的一半，也就是它的二分之一，写作。”五年级第二次认识分数时，是这样认识分数的“一个物体，一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。”通过比较不难发现，这两次认识的路径是相同的，都是用来表示平均分的结果，区别只是否用语言进行概括。
这样学习的结果是学生看见“米布”立刻想到“把1米布平均分成3份，表示这样的2份”。看到小时立刻想到“把1小时平均分成5份取其中的4份”。按照这个思维模式，与“小时÷米”相对应的表象是什么？“把1小时平均分成5份取其中的4份÷把1米布平均分成3份取其中的2份”，此时中间的除法无论是说成平均分还是包含都说不通，而且布怎么可以平均分時间呢？这太不可思议了！学生没有意识到，分数除法算式的意义不是分数意义的简单叠加，它是可以脱离分数的意义独立存在的。
之所以出现这种现象，是因为学生对分数的理解仍停留在直观的平均分水平，没有形成抽象的分数概念。对上题中小时和米，根本无需分析它所代表的意义，只有暂时放弃对数的意义的关注，转而关注数量关系，才能理解这类问题的本质——总数、份数和每份数，才能顺利解决问题。
（2）熟悉的生活情境和陌生的数量关系
新课程提倡在具体的问题情境中解决问题，不提倡数量关系的概括与归类，认为概括数量关系后易造成学生按照某个固定模式分析数量关系，并利用数量关系“套路化”地解决问题，从而缩小学生思维的空间。这样改革的结果是学生对少量熟悉的情境用生活经验无需思考轻松解决，对大量陌生的数量关系难以归类无从下手。
注重问题情境与概括数量关系并不矛盾，从某种意义上说，概括是抽象必然的结果。要让学生熟练地解决一类问题，必须进行适当的数量关系的研究与概括。以上题为例“一共织布多少米”“每小时织布多少米”“织了多少小时”组成了一个有关工作总量、工作效率、工作时间的数量关系，它们又可以进一步抽象为总数、份数和每份数的数量关系。这样陌生的织布问题就与熟悉的平均分结合在一起了。学生会自觉将“每份数×份数=总数”“工作效率×工作时间=工作总量”与“每小时织布米数×小时=织布总数米”建立联系，甚至根据乘除法互逆关系得出“每小时织布米数=织布总数米÷小时”。
2.教材编排的偏差
学生认知水平除了受学生思维发展水平影响，教材编排有没有可以改进之处呢？我查阅了人教版小学数学1-12册教材，尝试从教材编排中找原因。
二下是学生第一次学习除法，第二单元《表内除法一》教师用书明确指出：本节教材主要是让学生在具体情境中通过实践操作明确平均分的含义，在头脑中形成平均分的表象，进而让学生在具体情境中体会除法运算的意义。（《教师用书》P32）
第四单元《表内除法二》重点有二：一是使学生熟练应用乘法口诀求商；二是使学生经历从实际问题中抽象出一个数是另一个数的几倍的数量关系的过程。教学难点是应用分析推理，将一个数是另一个数的几倍是多少的数量关系转化为一个数里面有几个另一个数的除法含义。也就是说二年级第一次接触除法时，学生了解的除法的意义有二：一是平均分；二是包含。（二下《教师用书》P82）
综上所述，从教材的编排看，教材对学生除法概念的形成缺乏系完整性和严密性，除法的意义的形成局限于平均分和包含两个数学模型。既缺少常用数量关系的概括，更缺少除法是乘法逆运算的思考。正是学生对除法意义理解的缺陷，造成学生解决分数除法问题的困难。
三、解惑
数学的本质是抽象，一个苹果和一群小羊都可以用数字“1”表示，为什么不能用总数和每份数来概括路程和速度呢？总数、每份数的抽象程度并不比单位“1”更高，有众多的生活情境做支撑，完全可以把行程问题、工作量问题、价格问题、工程问题等都纳入到这个数学模型中，通过建立模型简化问题。
我们以上题为例：李明分钟跑了千米，他平均每分钟跑多少千米？他跑1千米要多少分钟？
（1）平均每分钟跑多少千米？
速度本质上是单位时间的路程。把路程作为总数，时间作为份数，用总数除以份数，得到的就是每份数——每分钟跑多少千米。虽然这个份数与学生熟悉的3份、5份有所不同，但是没关系，此时根本不需要考虑这个问题，要关注的是数量关系，而不是每个数的意义。
（2）跑1千米要多少分钟？
如果每份数是时间，总数当然也是时间，路程反而变成了份数，数量关系仍然是总数÷份数=每份数，总时间÷千米数=每千米需要的时间，分。
这样无论是求速度还是每千米需要的时间，都纳入“总数÷份数=每份数”关系之中，不同的问题用同样的数量关系解答，降低了学生记忆的负担。
四、结束语
学生的错误本质上是学生的抽象水平不足，面对纷繁的问题无法从具体的情境里跳出来，只见树木不见森林，造成分析数量关系的困难。新课程淡化了数量关系的概括，客观上影响了学生对除法意义的再认识，从而造成学生知识的割裂，不能自觉同化整数除法与分数除法，从而形成学习困难。
把这类问题的基本数量关系概括为“每份数×份数=总数”，可以避免分数意义对除法意义的干扰。“种瓜得瓜，种豆得豆”的比喻形象地说明了总数与每份数之间的关系，有助于学生进一步理解乘除法的互逆关系。既能帮助学生解决生活中简单的实际问题，又有利于学生抽象水平的提高。
分数除法是小学数学的一个难点，特别是当分率与具体数量同为分数时，学生更感觉无所适从。为什么在我们看来非常明显的数量关系，学生却困惑难解？我认为这里既有教学的原因——分数意义建构不完整，也有教材的问题——编排缺乏系统性。
一、缘起
分数除法单元检测中有这样一题“李明分钟跑步千米。他平均每分钟跑多少千米？他跑1千米要多少分钟？”竟然有一半的同学出现错误。类似这样的问题还有很多，学生总是闹不清楚该用谁除以谁。这引起了我的思考，是学生思维发展没有达到解决此类问题所需的水平，还是教师教学失误？我做了进一步的研究，以期找到原因，使学生掌握分数除法。
二、思考
是什么造成了学生的困难？我觉得有以下几个原因：
1.认知水平的影响
（1）直观的除法与抽象的分数
无论整数除法还是分数除法，共同的本质是除法运算。为什么整数除法学生的思路是清楚的，而到了分数除法中就糊涂了呢？
当学生面对“一台织布机小时可以织布米”这样的情境时，无论是“米÷小时”还是“小时÷米”都无法用平均分来解释，故无法顺利地将新知纳入已有的经验中。
是什么造成分数除法与整数除法的割裂呢？再看学生分数概念的形成过程。三年级第一次接触分数时，是这样认识分数的“把一块月饼平均分成两份，每份是这块月饼的一半，也就是它的二分之一，写作。”五年级第二次认识分数时，是这样认识分数的“一个物体，一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。”通过比较不难发现，这两次认识的路径是相同的，都是用来表示平均分的结果，区别只是否用语言进行概括。
这样学习的结果是学生看见“米布”立刻想到“把1米布平均分成3份，表示这样的2份”。看到小时立刻想到“把1小时平均分成5份取其中的4份”。按照这个思维模式，与“小时÷米”相对应的表象是什么？“把1小时平均分成5份取其中的4份÷把1米布平均分成3份取其中的2份”，此时中间的除法无论是说成平均分还是包含都说不通，而且布怎么可以平均分時间呢？这太不可思议了！学生没有意识到，分数除法算式的意义不是分数意义的简单叠加，它是可以脱离分数的意义独立存在的。
之所以出现这种现象，是因为学生对分数的理解仍停留在直观的平均分水平，没有形成抽象的分数概念。对上题中小时和米，根本无需分析它所代表的意义，只有暂时放弃对数的意义的关注，转而关注数量关系，才能理解这类问题的本质——总数、份数和每份数，才能顺利解决问题。
（2）熟悉的生活情境和陌生的数量关系
新课程提倡在具体的问题情境中解决问题，不提倡数量关系的概括与归类，认为概括数量关系后易造成学生按照某个固定模式分析数量关系，并利用数量关系“套路化”地解决问题，从而缩小学生思维的空间。这样改革的结果是学生对少量熟悉的情境用生活经验无需思考轻松解决，对大量陌生的数量关系难以归类无从下手。
注重问题情境与概括数量关系并不矛盾，从某种意义上说，概括是抽象必然的结果。要让学生熟练地解决一类问题，必须进行适当的数量关系的研究与概括。以上题为例“一共织布多少米”“每小时织布多少米”“织了多少小时”组成了一个有关工作总量、工作效率、工作时间的数量关系，它们又可以进一步抽象为总数、份数和每份数的数量关系。这样陌生的织布问题就与熟悉的平均分结合在一起了。学生会自觉将“每份数×份数=总数”“工作效率×工作时间=工作总量”与“每小时织布米数×小时=织布总数米”建立联系，甚至根据乘除法互逆关系得出“每小时织布米数=织布总数米÷小时”。
2.教材编排的偏差
学生认知水平除了受学生思维发展水平影响，教材编排有没有可以改进之处呢？我查阅了人教版小学数学1-12册教材，尝试从教材编排中找原因。
二下是学生第一次学习除法，第二单元《表内除法一》教师用书明确指出：本节教材主要是让学生在具体情境中通过实践操作明确平均分的含义，在头脑中形成平均分的表象，进而让学生在具体情境中体会除法运算的意义。（《教师用书》P32）
第四单元《表内除法二》重点有二：一是使学生熟练应用乘法口诀求商；二是使学生经历从实际问题中抽象出一个数是另一个数的几倍的数量关系的过程。教学难点是应用分析推理，将一个数是另一个数的几倍是多少的数量关系转化为一个数里面有几个另一个数的除法含义。也就是说二年级第一次接触除法时，学生了解的除法的意义有二：一是平均分；二是包含。（二下《教师用书》P82）
综上所述，从教材的编排看，教材对学生除法概念的形成缺乏系完整性和严密性，除法的意义的形成局限于平均分和包含两个数学模型。既缺少常用数量关系的概括，更缺少除法是乘法逆运算的思考。正是学生对除法意义理解的缺陷，造成学生解决分数除法问题的困难。
三、解惑
数学的本质是抽象，一个苹果和一群小羊都可以用数字“1”表示，为什么不能用总数和每份数来概括路程和速度呢？总数、每份数的抽象程度并不比单位“1”更高，有众多的生活情境做支撑，完全可以把行程问题、工作量问题、价格问题、工程问题等都纳入到这个数学模型中，通过建立模型简化问题。
我们以上题为例：李明分钟跑了千米，他平均每分钟跑多少千米？他跑1千米要多少分钟？
（1）平均每分钟跑多少千米？
速度本质上是单位时间的路程。把路程作为总数，时间作为份数，用总数除以份数，得到的就是每份数——每分钟跑多少千米。虽然这个份数与学生熟悉的3份、5份有所不同，但是没关系，此时根本不需要考虑这个问题，要关注的是数量关系，而不是每个数的意义。
（2）跑1千米要多少分钟？
如果每份数是时间，总数当然也是时间，路程反而变成了份数，数量关系仍然是总数÷份数=每份数，总时间÷千米数=每千米需要的时间，分。
这样无论是求速度还是每千米需要的时间，都纳入“总数÷份数=每份数”关系之中，不同的问题用同样的数量关系解答，降低了学生记忆的负担。
四、结束语
学生的错误本质上是学生的抽象水平不足，面对纷繁的问题无法从具体的情境里跳出来，只见树木不见森林，造成分析数量关系的困难。新课程淡化了数量关系的概括，客观上影响了学生对除法意义的再认识，从而造成学生知识的割裂，不能自觉同化整数除法与分数除法，从而形成学习困难。
把这类问题的基本数量关系概括为“每份数×份数=总数”，可以避免分数意义对除法意义的干扰。“种瓜得瓜，种豆得豆”的比喻形象地说明了总数与每份数之间的关系，有助于学生进一步理解乘除法的互逆关系。既能帮助学生解决生活中简单的实际问题，又有利于学生抽象水平的提高。