论文部分内容阅读
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）明确规定“图形与几何”是小学数学重要内容之一，并分学段提出了小学生应达到的学习目标。《标准》对几何内容的定位，凸显了几何学习的重要性。几何学习注重在观察图形的基础上发现问题、分析问题和解决问题，从而培养学生良好的思维习惯，发展学生的逻辑思维。探究小学生几何思维发展现状，分析小学生在几何学习过程中面临的问题，同时提出相应的几何思维发展策略，对于发展小学生的几何思维具有重要意义。
一、几何思维的内涵
（一）几何思维的定义
几何思维作为数学思维的一种，是众多学者关注的对象，但是当前对几何思维并没有一个统一的概念界定。有学者认为，几何思维简单来看就是指学生在几何学习活动中的形象思维;[1]还有的学者认为，几何思维是个体处理抽象几何问题，发现几何性质定理的一个过程，在这一过程中包含了分析、推理、归纳等多种心智操作，所以几何思维是一种科学的思維方法。[2]综合而言，笔者认为，几何思维是以几何图形为符号语言，通过对几何对象的直接感知来构建几何知识，从而解决几何问题的思维过程。
（二）几何思维的主要数学思想
1.抽象思想
抽象思想不仅包含于代数思维，也是几何思维中的主要数学思想。抽象的核心在于将实物的外部形象通过线条在二维平面上描绘出来。在几何知识学习中，我们通常用“点”表示“位置”，比如地图上城市的坐标点;用“线段”表示“路径”。所以，点是位置的抽象表示，线段是路径的抽象表示。例如，一张凳子有高度和宽度，这些信息反映在我们的脑海中，便形成了抽象的几何图形。
2.分类思想
运用几何思维解决几何问题，通常需要进行分类、归纳，因而分类思想也是几何思维中的主要数学思想之一。在小学阶段，我们常常会遇到分类的问题，如角或三角形的分类。其实，分类的过程就是抽象出事物共性特征的过程。分类首先需要确认分类标准，然后进行辨认，如正方体、圆柱体、球就是类型不同的三种几何体，而圆、正方形、三角形也是类型不同的三种平面图形。
3.转化思想
所谓转化，就是将复杂问题简单化，使问题得以解决。一般来说，转化有三个基本要素，即转化的对象、目标和方法。以曹冲称象的故事为例，转化对象是大象的重量，转化目标是石头的重量，转化方法是在两艘船分别装大象和石头，使得两艘船没入水中的深度一样，最后称出石头的重量，就能得出大象的体重。运用几何思想解决几何问题也时常用到转化的思想，如将圆柱体的表面积转化为长方形的面积，将圆锥的体积转化为圆柱的体积等。
4.数形结合思想
数与形是数学研究中的两个重要对象，数形结合思想作为几何思维的重要数学思想，主要通过“以数解形”的形式来体现。例如，在周长相等的圆、正方形、长方形、三角形中，谁的面积最大？谁的面积最小？仅凭直观很难判断，这就需要借助字母公式来计算，得出计算结果后归纳得出“周长一定的平面图形中，圆的面积最大”的一般规律。
（三）几何思维与算术思维、代数思维的区别与联系
几何思维与算术思维、代数思维都是学生在解决不同数学问题过程中需要用到的思维方式。这三种数学思维方式既有区别又相互联系，区别主要在三个方面。第一，对象不同。几何思维的主要对象是几何图形;算术思维的对象主要是数及数的运算，且数是常量;代数思维的对象主要是代数式及其运算，且代数式属于变量。第二，思维侧重点不同。几何思维注重对几何图形的抽象、转化;算术思维侧重通过运算得出正确答案;代数思维侧重对关系进行符号化。第三，思维过程的特征不同。学生运用几何思维解决数学问题时，需要观察与想象，所以，思维方式带有发现性、猜想性;算术思维则是按照一定的规则进行运算，整个思维过程带有程序性;代数思维则带有结构性。
几何思维与算术思维、代数思维看似不同，实则有着紧密的联系，表现为：一方面，在解决几何问题过程中，特别是到了第二学段，学生需要掌握正方体、长方体、圆柱体的表面积及体积的计算方法，在解决这一类几何问题时需要用到算术思维与代数思维;一方面，低年级学生解决加减等运算时，可能需要借助几何思维，通过想象使问题直观化，这一过程也是对学生几何思维的锻炼。
几何思维、算术思维、代数思维这三者虽然存在区别，但在一定程度上则是彼此依存，相辅相成，互相促进的。
二、小学生几何思维发展水平与特征及在几何学习中存在的问题
国内外已有较多学者对儿童的几何思维进行了研究，其中荷兰学者范·希尔夫妇的研究成果最为著名，他们提出了学生几何思维发展的五个水平层级。此后，又有学者补充了一个更低的水平层级，即水平层级0。
（一）小学生几何思维发展水平与特征
结合小学生思维发展特点，小学生几何思维的发展主要处于0—3这四个阶段，如下表所示。[3]
处于水平层级0的学生能够区分直线图形和曲线图形，如正方形与圆，但是在区分长方形与正方形时会存在困难。同时，处于该水平层级的学生在面对给定的一个图形时，大部分不能重构一个与其性质相同的图形，所以，处于这一水平层级的学生的思维需要依赖具体形象;处于水平层级1的学生能够借助“正方形像方纸巾，长方形像黑板”这样的认知来区分正方形与长方形，但这种区分方式仅限于图形的形状，因此，对他们来说，区分正方形与正方体难度较大，不能清晰地了解图形的性质。大部分一年级学生能够达到水平层级1。
随着年龄的增长与所学知识的增加，大部分三年级学生能够达到水平层级2，能够依据“角有一个尖尖的顶点和两条直直的边”这一特征来识别角，并对角进行分类，如直角、锐角、钝角。这一阶段的学生在一定程度上弱化了直观因素，性质因素得到强化，但在理解“正方形是特殊的长方形”这一知识点时存在较大难度。学生进入第二学段，部分学生开始达到水平层级3，能够逐渐理解“正方形是被附加某些性质的长方形”，能够根据图形的性质对图形进行分解、组合，如任何一个四边形可以被分解为两个三角形。但处于这个水平层级的学生还不能很好地认识到证明、定理的重要性。 可见，小学生几何思维的发展具有一定的次序性和阶段性，整个思维发展水平呈螺旋上升趋势。
（二）小学生几何学习中存在的问题
范·希尔夫妇提出，学生从一个水平层级进入到下一个水平层级并不完全依赖年岁的增长，主要还在于自身的学习与他人的教导。可见，几何知识的学习对于促进小学生几何思维的发展具有重要作用。受认知水平、已有知识经验等因素影响，当前小学生在几何知识学习中主要存在以下几个问题。
1.相近概念易混淆
图形分类是小学几何知识学习的重点内容。学生在理解两个互不交叉的集合时比较容易，但当两个集合之间存在交叉，其认知就容易进入误区，比如在面对“正方体是特殊的长方体”这一问题时常常产生困惑。因为正方体与长方体各有特点，但正方体具备了长方体的某些特征，所以学生容易混淆，以至于在解决问题时经常出错。
2.动手操作能力较差
小学阶段的几何知识学习不仅要求学生理解相关的概念、性质，而且要求学生掌握基本的画图技能。在学习中，学生通常可以较好地理解概念的表层意思，能够根据性质做出判断，但在动手操作时容易出现错误，这种现象在平移、轴对称、旋转等知识的学习中表现尤为突出，特别是90°旋转的操作最容易出错。
3.几何概念过于抽象导致理解困难
学习数学几何知识过程中往往会碰到抽象的数学概念，且在生活中难以找到原型，学生在理解时存在难度。比如学习直线与射线，其“无限延伸”的特性缺乏实际参照，教师也无法提供完整的操作模型，学生的学习主要以现实依托为主。同时，人们常把生活中“直的线”称作直线，且生活中“直线”的长度有限，这也给学生的理解带来障碍。此外，直线、射线在纸上只能画出一部分，学生很容易将其与线段相混淆，加上空间想象力不足，在理解这一类抽象的数学概念时就更难了。
4.受视觉直观影响出现认知偏差
受认知方式的影响，小学生在认识图形过程中习惯依赖视觉直观，导致观察出现认知偏差。在学习“认识角”这一内容时，大部分学生认为“线越长，角越大;线越短，角越小”。产生这一错误认知的主要原因是，学生受视觉直观影响，导致根据线的长短判断角的大小，实则是在判断图形的大小。所以，小学生依据视觉直观理解几何知识，容易受视觉直观的影响而忽略了知识本身的特性。
三、小学生几何思维的发展策略
范·希尔夫妇认为，学生需要在教师的正确引导下才能不断地超越自己已有的认知水平，从而达到新的认知高度，但如果教学中使用的教材内容、教学设计、教学用具均高于学生已有的水平层次，那么学生很难完整地理解教师教授的知识，也不利于学生几何思维的发展。因此，在几何知识教学中，教师可从以下几个方面培养和发展学生的几何思维。
（一）科学测评学生几何思维所处水平层级，了解学生的差异
几何知识教学是培养学生几何思维能力的重要手段。教师在展开教学之前要了解学生个体几何思维发展所处的水平层级以及班级学生几何思维的整体情况，并以此作为教学设计的依据，使教学更具针对性。教师可以编制几何思维测试题，测评学生的几何思维水平。这种测评可以在同年级进行，也可以在不同学段、不同学校进行，以此确定一个较为合理的评价基准。通过测评，教师可以了解学生的差异，设计个性化的教学，满足不同水平层次的学生的学习需求，从而发展学生的几何思维。
（二）在教学中渗透几何思维的培养，激发学生的思维潜能
1.重视分析，让思维更清晰
几何思维是一个包含了分析、推理、归纳等多种心智活动的过程。教师通过分析几何问题中的隐蔽条件，能够进一步增强学生几何思维的清晰度，使学生更好地掌握几何性质。例如，理解“正方体是特殊的长方体”这一难点知识时，教师可以先提出问题，然后引导学生观察正方体与长方体的特征。学生通过分析发现，正方体与长方体同样可以将12条棱分为互相平行的3组，且每组4条棱的长度相等，相对面的面积相等。有的学生会问：正方体6个面均为面积相等的正方形，且12條棱长度相等，但长方体就没有这些特征。对此，教师可以顺势给出结论：这恰恰说明正方体符合长方体的特征，所以，它是长方体且是一个特殊的长方体。从而引导学生学会正确地观察和分析。
2.加强辨析，让思维更深刻
数学思维的深刻性是指数学活动的抽象程度、逻辑水平以及思维活动的深度。它是数学思维品质的重要基础，影响着一个人思维水平的发展。几何思维作为数学思维的一种，在培养过程中应加强学生的辨析能力，通过辨析对几何图形进行分类归纳，从而抽象出几何图形的本质特征。例如，理解平移、对称、旋转等内容时，学生容易混淆，教师要引导学生结合生活经验对不同的现象进行辨析与归纳，总结出平移、对称的本质特征，最后形成正确的认知。
3.关注操作，让思维可实践
小学生主要以形象思维为主，很多学生理解几何知识仍停留在表面，在具体的实践操作中就会出现各种问题。这就要求教师在教学中不仅要结合学生的认知水平，采用直观形象的教学方式，还要关注学生的实际操作，增强学生几何思维的可实践性。例如，理解平移、对称、旋转这一难点知识，在学生掌握了操作步骤之后，教师再引导学生操作，在操作中不断发现问题，并有针对性地解决问题。教师还要通过多次练习，加深学生对几何作图操作要领的印象，帮助学生建立相应的空间观念。
4.注重反思，让思维更严密
小学几何教学主要是通过直观教学帮助学生获取几何知识，发展几何思维。小学生对几何图形的认知主要通过直观感受获得，较少学生能够进行推理或证明。因为依靠视觉直观容易出现认知偏差，所以教师要引导学生学会反思，增强学生几何思维的严密度。例如，学习“角的认识”时，有的学生可能仅仅通过视觉直观便得出“线越长，角越大”的错误认知，为此，教师要引导学生反思：真的是线越长角越大吗？同时给出两个角度相同，边长不同的角，让学生使用三角板测量，从而得出结论“角的大小与边的长短没有关系”，并由此延伸得出“角是由定点与射线组成，而射线是没有长度的”这一知识点，帮助学生摆脱由视觉直观造成的认知偏差。
（三）整合教材内容，明确概念与特征
教学应源于教材且高于教材，教师要充分地解读教材、挖掘教材，根据实际需要创造性地使用教材，解决学生在学习中遇到的困难。以人教版数学教材四年级下册“平移与旋转”为例，教材提供了汽车平移的图片引导学生认识“什么是平移”，有的学生认为“车轮是旋转的，所以车不是平移状态”，这主要是由于教材图例不清晰导致。为此，教师需要为学生提供更适宜学生认知的学习材料，帮助学生正确认识“平移”的相关知识。在处理教材方面，教师更要明确角、线段、直线、射线等类似概念的特征，避免学生受视觉直观影响而混淆概念。
综上所述，几何思维是数学思维的组成部分，学生的几何思维发展水平如何，对学生的后续学习将产生直接的影响。因此，教师要深入解读《标准》对几何教学及学生几何思维培养的要求，不断调整和完善教学设计，使之适应学生的学习需要。同时，教师要在帮助学生解决几何难点知识过程中，引导学生学会辨析与质疑，促进学生几何思维的发展。
参考文献：
[1]黄红成.几何思维能力培养的教学路径[J].教学与管理，2016（5）：35-37.
[2]张大均.教育心理学[M].北京人民教育出版社，2015：43.
[3]刘晓菲.范·希尔理论在初中几何教学中的应用研究[D].鲁东大学，2018：18-23.
[米丝蕊，女，南京师范大学教育科学学院博士研究生;李星云，男，南京师范大学教育科学学院教授、博士生导师]
（责编 欧孔群）
一、几何思维的内涵
（一）几何思维的定义
几何思维作为数学思维的一种，是众多学者关注的对象，但是当前对几何思维并没有一个统一的概念界定。有学者认为，几何思维简单来看就是指学生在几何学习活动中的形象思维;[1]还有的学者认为，几何思维是个体处理抽象几何问题，发现几何性质定理的一个过程，在这一过程中包含了分析、推理、归纳等多种心智操作，所以几何思维是一种科学的思維方法。[2]综合而言，笔者认为，几何思维是以几何图形为符号语言，通过对几何对象的直接感知来构建几何知识，从而解决几何问题的思维过程。
（二）几何思维的主要数学思想
1.抽象思想
抽象思想不仅包含于代数思维，也是几何思维中的主要数学思想。抽象的核心在于将实物的外部形象通过线条在二维平面上描绘出来。在几何知识学习中，我们通常用“点”表示“位置”，比如地图上城市的坐标点;用“线段”表示“路径”。所以，点是位置的抽象表示，线段是路径的抽象表示。例如，一张凳子有高度和宽度，这些信息反映在我们的脑海中，便形成了抽象的几何图形。
2.分类思想
运用几何思维解决几何问题，通常需要进行分类、归纳，因而分类思想也是几何思维中的主要数学思想之一。在小学阶段，我们常常会遇到分类的问题，如角或三角形的分类。其实，分类的过程就是抽象出事物共性特征的过程。分类首先需要确认分类标准，然后进行辨认，如正方体、圆柱体、球就是类型不同的三种几何体，而圆、正方形、三角形也是类型不同的三种平面图形。
3.转化思想
所谓转化，就是将复杂问题简单化，使问题得以解决。一般来说，转化有三个基本要素，即转化的对象、目标和方法。以曹冲称象的故事为例，转化对象是大象的重量，转化目标是石头的重量，转化方法是在两艘船分别装大象和石头，使得两艘船没入水中的深度一样，最后称出石头的重量，就能得出大象的体重。运用几何思想解决几何问题也时常用到转化的思想，如将圆柱体的表面积转化为长方形的面积，将圆锥的体积转化为圆柱的体积等。
4.数形结合思想
数与形是数学研究中的两个重要对象，数形结合思想作为几何思维的重要数学思想，主要通过“以数解形”的形式来体现。例如，在周长相等的圆、正方形、长方形、三角形中，谁的面积最大？谁的面积最小？仅凭直观很难判断，这就需要借助字母公式来计算，得出计算结果后归纳得出“周长一定的平面图形中，圆的面积最大”的一般规律。
（三）几何思维与算术思维、代数思维的区别与联系
几何思维与算术思维、代数思维都是学生在解决不同数学问题过程中需要用到的思维方式。这三种数学思维方式既有区别又相互联系，区别主要在三个方面。第一，对象不同。几何思维的主要对象是几何图形;算术思维的对象主要是数及数的运算，且数是常量;代数思维的对象主要是代数式及其运算，且代数式属于变量。第二，思维侧重点不同。几何思维注重对几何图形的抽象、转化;算术思维侧重通过运算得出正确答案;代数思维侧重对关系进行符号化。第三，思维过程的特征不同。学生运用几何思维解决数学问题时，需要观察与想象，所以，思维方式带有发现性、猜想性;算术思维则是按照一定的规则进行运算，整个思维过程带有程序性;代数思维则带有结构性。
几何思维与算术思维、代数思维看似不同，实则有着紧密的联系，表现为：一方面，在解决几何问题过程中，特别是到了第二学段，学生需要掌握正方体、长方体、圆柱体的表面积及体积的计算方法，在解决这一类几何问题时需要用到算术思维与代数思维;一方面，低年级学生解决加减等运算时，可能需要借助几何思维，通过想象使问题直观化，这一过程也是对学生几何思维的锻炼。
几何思维、算术思维、代数思维这三者虽然存在区别，但在一定程度上则是彼此依存，相辅相成，互相促进的。
二、小学生几何思维发展水平与特征及在几何学习中存在的问题
国内外已有较多学者对儿童的几何思维进行了研究，其中荷兰学者范·希尔夫妇的研究成果最为著名，他们提出了学生几何思维发展的五个水平层级。此后，又有学者补充了一个更低的水平层级，即水平层级0。
（一）小学生几何思维发展水平与特征
结合小学生思维发展特点，小学生几何思维的发展主要处于0—3这四个阶段，如下表所示。[3]
处于水平层级0的学生能够区分直线图形和曲线图形，如正方形与圆，但是在区分长方形与正方形时会存在困难。同时，处于该水平层级的学生在面对给定的一个图形时，大部分不能重构一个与其性质相同的图形，所以，处于这一水平层级的学生的思维需要依赖具体形象;处于水平层级1的学生能够借助“正方形像方纸巾，长方形像黑板”这样的认知来区分正方形与长方形，但这种区分方式仅限于图形的形状，因此，对他们来说，区分正方形与正方体难度较大，不能清晰地了解图形的性质。大部分一年级学生能够达到水平层级1。
随着年龄的增长与所学知识的增加，大部分三年级学生能够达到水平层级2，能够依据“角有一个尖尖的顶点和两条直直的边”这一特征来识别角，并对角进行分类，如直角、锐角、钝角。这一阶段的学生在一定程度上弱化了直观因素，性质因素得到强化，但在理解“正方形是特殊的长方形”这一知识点时存在较大难度。学生进入第二学段，部分学生开始达到水平层级3，能够逐渐理解“正方形是被附加某些性质的长方形”，能够根据图形的性质对图形进行分解、组合，如任何一个四边形可以被分解为两个三角形。但处于这个水平层级的学生还不能很好地认识到证明、定理的重要性。 可见，小学生几何思维的发展具有一定的次序性和阶段性，整个思维发展水平呈螺旋上升趋势。
（二）小学生几何学习中存在的问题
范·希尔夫妇提出，学生从一个水平层级进入到下一个水平层级并不完全依赖年岁的增长，主要还在于自身的学习与他人的教导。可见，几何知识的学习对于促进小学生几何思维的发展具有重要作用。受认知水平、已有知识经验等因素影响，当前小学生在几何知识学习中主要存在以下几个问题。
1.相近概念易混淆
图形分类是小学几何知识学习的重点内容。学生在理解两个互不交叉的集合时比较容易，但当两个集合之间存在交叉，其认知就容易进入误区，比如在面对“正方体是特殊的长方体”这一问题时常常产生困惑。因为正方体与长方体各有特点，但正方体具备了长方体的某些特征，所以学生容易混淆，以至于在解决问题时经常出错。
2.动手操作能力较差
小学阶段的几何知识学习不仅要求学生理解相关的概念、性质，而且要求学生掌握基本的画图技能。在学习中，学生通常可以较好地理解概念的表层意思，能够根据性质做出判断，但在动手操作时容易出现错误，这种现象在平移、轴对称、旋转等知识的学习中表现尤为突出，特别是90°旋转的操作最容易出错。
3.几何概念过于抽象导致理解困难
学习数学几何知识过程中往往会碰到抽象的数学概念，且在生活中难以找到原型，学生在理解时存在难度。比如学习直线与射线，其“无限延伸”的特性缺乏实际参照，教师也无法提供完整的操作模型，学生的学习主要以现实依托为主。同时，人们常把生活中“直的线”称作直线，且生活中“直线”的长度有限，这也给学生的理解带来障碍。此外，直线、射线在纸上只能画出一部分，学生很容易将其与线段相混淆，加上空间想象力不足，在理解这一类抽象的数学概念时就更难了。
4.受视觉直观影响出现认知偏差
受认知方式的影响，小学生在认识图形过程中习惯依赖视觉直观，导致观察出现认知偏差。在学习“认识角”这一内容时，大部分学生认为“线越长，角越大;线越短，角越小”。产生这一错误认知的主要原因是，学生受视觉直观影响，导致根据线的长短判断角的大小，实则是在判断图形的大小。所以，小学生依据视觉直观理解几何知识，容易受视觉直观的影响而忽略了知识本身的特性。
三、小学生几何思维的发展策略
范·希尔夫妇认为，学生需要在教师的正确引导下才能不断地超越自己已有的认知水平，从而达到新的认知高度，但如果教学中使用的教材内容、教学设计、教学用具均高于学生已有的水平层次，那么学生很难完整地理解教师教授的知识，也不利于学生几何思维的发展。因此，在几何知识教学中，教师可从以下几个方面培养和发展学生的几何思维。
（一）科学测评学生几何思维所处水平层级，了解学生的差异
几何知识教学是培养学生几何思维能力的重要手段。教师在展开教学之前要了解学生个体几何思维发展所处的水平层级以及班级学生几何思维的整体情况，并以此作为教学设计的依据，使教学更具针对性。教师可以编制几何思维测试题，测评学生的几何思维水平。这种测评可以在同年级进行，也可以在不同学段、不同学校进行，以此确定一个较为合理的评价基准。通过测评，教师可以了解学生的差异，设计个性化的教学，满足不同水平层次的学生的学习需求，从而发展学生的几何思维。
（二）在教学中渗透几何思维的培养，激发学生的思维潜能
1.重视分析，让思维更清晰
几何思维是一个包含了分析、推理、归纳等多种心智活动的过程。教师通过分析几何问题中的隐蔽条件，能够进一步增强学生几何思维的清晰度，使学生更好地掌握几何性质。例如，理解“正方体是特殊的长方体”这一难点知识时，教师可以先提出问题，然后引导学生观察正方体与长方体的特征。学生通过分析发现，正方体与长方体同样可以将12条棱分为互相平行的3组，且每组4条棱的长度相等，相对面的面积相等。有的学生会问：正方体6个面均为面积相等的正方形，且12條棱长度相等，但长方体就没有这些特征。对此，教师可以顺势给出结论：这恰恰说明正方体符合长方体的特征，所以，它是长方体且是一个特殊的长方体。从而引导学生学会正确地观察和分析。
2.加强辨析，让思维更深刻
数学思维的深刻性是指数学活动的抽象程度、逻辑水平以及思维活动的深度。它是数学思维品质的重要基础，影响着一个人思维水平的发展。几何思维作为数学思维的一种，在培养过程中应加强学生的辨析能力，通过辨析对几何图形进行分类归纳，从而抽象出几何图形的本质特征。例如，理解平移、对称、旋转等内容时，学生容易混淆，教师要引导学生结合生活经验对不同的现象进行辨析与归纳，总结出平移、对称的本质特征，最后形成正确的认知。
3.关注操作，让思维可实践
小学生主要以形象思维为主，很多学生理解几何知识仍停留在表面，在具体的实践操作中就会出现各种问题。这就要求教师在教学中不仅要结合学生的认知水平，采用直观形象的教学方式，还要关注学生的实际操作，增强学生几何思维的可实践性。例如，理解平移、对称、旋转这一难点知识，在学生掌握了操作步骤之后，教师再引导学生操作，在操作中不断发现问题，并有针对性地解决问题。教师还要通过多次练习，加深学生对几何作图操作要领的印象，帮助学生建立相应的空间观念。
4.注重反思，让思维更严密
小学几何教学主要是通过直观教学帮助学生获取几何知识，发展几何思维。小学生对几何图形的认知主要通过直观感受获得，较少学生能够进行推理或证明。因为依靠视觉直观容易出现认知偏差，所以教师要引导学生学会反思，增强学生几何思维的严密度。例如，学习“角的认识”时，有的学生可能仅仅通过视觉直观便得出“线越长，角越大”的错误认知，为此，教师要引导学生反思：真的是线越长角越大吗？同时给出两个角度相同，边长不同的角，让学生使用三角板测量，从而得出结论“角的大小与边的长短没有关系”，并由此延伸得出“角是由定点与射线组成，而射线是没有长度的”这一知识点，帮助学生摆脱由视觉直观造成的认知偏差。
（三）整合教材内容，明确概念与特征
教学应源于教材且高于教材，教师要充分地解读教材、挖掘教材，根据实际需要创造性地使用教材，解决学生在学习中遇到的困难。以人教版数学教材四年级下册“平移与旋转”为例，教材提供了汽车平移的图片引导学生认识“什么是平移”，有的学生认为“车轮是旋转的，所以车不是平移状态”，这主要是由于教材图例不清晰导致。为此，教师需要为学生提供更适宜学生认知的学习材料，帮助学生正确认识“平移”的相关知识。在处理教材方面，教师更要明确角、线段、直线、射线等类似概念的特征，避免学生受视觉直观影响而混淆概念。
综上所述，几何思维是数学思维的组成部分，学生的几何思维发展水平如何，对学生的后续学习将产生直接的影响。因此，教师要深入解读《标准》对几何教学及学生几何思维培养的要求，不断调整和完善教学设计，使之适应学生的学习需要。同时，教师要在帮助学生解决几何难点知识过程中，引导学生学会辨析与质疑，促进学生几何思维的发展。
参考文献：
[1]黄红成.几何思维能力培养的教学路径[J].教学与管理，2016（5）：35-37.
[2]张大均.教育心理学[M].北京人民教育出版社，2015：43.
[3]刘晓菲.范·希尔理论在初中几何教学中的应用研究[D].鲁东大学，2018：18-23.
[米丝蕊，女，南京师范大学教育科学学院博士研究生;李星云，男，南京师范大学教育科学学院教授、博士生导师]
（责编 欧孔群）