论文部分内容阅读
下面结合一道中考试题，探究几个被开方数是正整数的二次根式的和、差位于哪两个连续整数之间问题，并得出问题的一般解法，供参考.
1一个二次根式与整数的和或者是差
例1（2013山东枣庄中考题）估计6+1的值在（）
A.2到3之间B.3到4之间
C.4到5之间D.5到6之间
解析估计6+1的值，关键是确定6位于哪两个相邻的正整数之间，即是确定6最接近的两个完全平方数，由于4与9是6最接近的两个完全平方数，因此6在4与9之间，即是2<6<3，运用不等式的性质，则2+1<6+1<3+1.
即是3<6+1<4.
点评二次根式的值的范围的界定，一般先从被开方数最接近的两个完全平方数入手，二次根式的值在两个完全平方数的算术平方根之间，对于m±n（m、n都是正数）的情况，应联系不等式的性质，推测其值的范围.
2两个二次根式的和、差问题
例2确定13-2在哪两个正整数之间？
解析由于3<13<4，1<2<2，运用不等式性质则-2<-2<-1，则13-2<13-2<13-1，3-2<13-2<4-1，所以13-2在正整数1与3之间.显然1与3不是连续正整数，为了进一步确定在哪两个连续正整数之间，进一步变化原二次根式，把原二次根式13-2平方即是15-226，226=104，104在两个连续的完全平方数100与121之间，因此100<104<121，即10<104<11，则-11<-104<-10，15-11<15-104<15-10，即4<15-104<5，因此4<13-2<5，即2<13-2<5，而2<5<3，则2<13-2<3.
即13-2在正整数2与3之间.
点评形如m±n（m、n都是正数）的二次根式值的范围的确定问题，分别确定m、n最接近的两个完全平方数，结合不等式性质解答，如果得出结果不是位于两个连续整数之间，可以把原二次根式平方，结合不等式性质进行判断.
3多个二次根式的和、差问题
例3判断二次根式5+3-6-2的值在哪两个连续整数之间？
解析5+3-6-2=（5+3）-（6+2），
（5+3）2-（6+2）2=（8+215）-（8+212）=215-212>0，因此
5+3-6-2>0，
（5+3-6-2）2
=（5+3）2-2（5+3）（6+2）+（6+2）2
=（8+215）+（8+212）-2（30+10+32+6）
=16+215+212-2（30+10+32+6）
=16+215+212-230-210-62-26
易得7<215<8，6<212<7，-11<-230<-10，-7<-210<-6，
-9<-62<-8，-5<-26<-4，
16+7+6-11-7-9-5<16+215+212-230-210-62-26<16+8+7-10-6-8-4，即是
-3<16+215+212-230-210-62-26<3，而（5+3-6-2）2>0，
则0<16+215+212-230-210-62-26<3，0<5+3-6-2<3，1<3<2.则0<5+3-6-2<2，取0与2的平均数1，辨析5+3-6-2-1的符号即可.
5+3-6-2-1=5+3-（6+2+1）.
（5+3）2-（6+2+1）2
=8+215-8-212-26-22-1
=215-212-26-22-1.
7<215<8，-7<-212<-6，-5<-26<-4，-3<-22<-2，
7-7-5-3-1<215-212-26-22-1<8-6-4-2-1，
-9<215-212-26-22-1<-5，
所以215-212-26-22-1<0，5+3-6-2<1，0<5+3-6-2<1，
二次根式5+3-6-2的值在两个连续整数0与1之间.用计算器，易得
5+3-6-2
≈010441547991239384293764721132156.
因此上面推理正确.
一般方法：一般地，辨析几个二次根式所组成的无理数的位于哪两个连续整数之间，可以先确定这个无理数的符号，通过计算这个无理数的平方，结合不等式性质辨析每一个无理数相邻的两个连续整数，确定原无理数的范围，如果判断得出这个无理数位于不是相邻的两个整数之间，取首尾两个整数的平均数，用原数减去这个平均数，通过计算正数之和与负数之和的平方差，辨析原数与平均数的大小，缩小范围，如果仍不易判断，也可以再次计算平方差结果中正数之和与负数之和的平方差进行判断，从而确定原二次根式组成的无理数所相邻的两个连续整数值.
练习：确定6-2-7在哪两个整数之间？
作者简介魏祥勤，男，1964年10月生.中学高级教师，首批河南省骨干教师，在《中学数学杂志》等发表文章102篇.
1一个二次根式与整数的和或者是差
例1（2013山东枣庄中考题）估计6+1的值在（）
A.2到3之间B.3到4之间
C.4到5之间D.5到6之间
解析估计6+1的值，关键是确定6位于哪两个相邻的正整数之间，即是确定6最接近的两个完全平方数，由于4与9是6最接近的两个完全平方数，因此6在4与9之间，即是2<6<3，运用不等式的性质，则2+1<6+1<3+1.
即是3<6+1<4.
点评二次根式的值的范围的界定，一般先从被开方数最接近的两个完全平方数入手，二次根式的值在两个完全平方数的算术平方根之间，对于m±n（m、n都是正数）的情况，应联系不等式的性质，推测其值的范围.
2两个二次根式的和、差问题
例2确定13-2在哪两个正整数之间？
解析由于3<13<4，1<2<2，运用不等式性质则-2<-2<-1，则13-2<13-2<13-1，3-2<13-2<4-1，所以13-2在正整数1与3之间.显然1与3不是连续正整数，为了进一步确定在哪两个连续正整数之间，进一步变化原二次根式，把原二次根式13-2平方即是15-226，226=104，104在两个连续的完全平方数100与121之间，因此100<104<121，即10<104<11，则-11<-104<-10，15-11<15-104<15-10，即4<15-104<5，因此4<13-2<5，即2<13-2<5，而2<5<3，则2<13-2<3.
即13-2在正整数2与3之间.
点评形如m±n（m、n都是正数）的二次根式值的范围的确定问题，分别确定m、n最接近的两个完全平方数，结合不等式性质解答，如果得出结果不是位于两个连续整数之间，可以把原二次根式平方，结合不等式性质进行判断.
3多个二次根式的和、差问题
例3判断二次根式5+3-6-2的值在哪两个连续整数之间？
解析5+3-6-2=（5+3）-（6+2），
（5+3）2-（6+2）2=（8+215）-（8+212）=215-212>0，因此
5+3-6-2>0，
（5+3-6-2）2
=（5+3）2-2（5+3）（6+2）+（6+2）2
=（8+215）+（8+212）-2（30+10+32+6）
=16+215+212-2（30+10+32+6）
=16+215+212-230-210-62-26
易得7<215<8，6<212<7，-11<-230<-10，-7<-210<-6，
-9<-62<-8，-5<-26<-4，
16+7+6-11-7-9-5<16+215+212-230-210-62-26<16+8+7-10-6-8-4，即是
-3<16+215+212-230-210-62-26<3，而（5+3-6-2）2>0，
则0<16+215+212-230-210-62-26<3，0<5+3-6-2<3，1<3<2.则0<5+3-6-2<2，取0与2的平均数1，辨析5+3-6-2-1的符号即可.
5+3-6-2-1=5+3-（6+2+1）.
（5+3）2-（6+2+1）2
=8+215-8-212-26-22-1
=215-212-26-22-1.
7<215<8，-7<-212<-6，-5<-26<-4，-3<-22<-2，
7-7-5-3-1<215-212-26-22-1<8-6-4-2-1，
-9<215-212-26-22-1<-5，
所以215-212-26-22-1<0，5+3-6-2<1，0<5+3-6-2<1，
二次根式5+3-6-2的值在两个连续整数0与1之间.用计算器，易得
5+3-6-2
≈010441547991239384293764721132156.
因此上面推理正确.
一般方法：一般地，辨析几个二次根式所组成的无理数的位于哪两个连续整数之间，可以先确定这个无理数的符号，通过计算这个无理数的平方，结合不等式性质辨析每一个无理数相邻的两个连续整数，确定原无理数的范围，如果判断得出这个无理数位于不是相邻的两个整数之间，取首尾两个整数的平均数，用原数减去这个平均数，通过计算正数之和与负数之和的平方差，辨析原数与平均数的大小，缩小范围，如果仍不易判断，也可以再次计算平方差结果中正数之和与负数之和的平方差进行判断，从而确定原二次根式组成的无理数所相邻的两个连续整数值.
练习：确定6-2-7在哪两个整数之间？
作者简介魏祥勤，男，1964年10月生.中学高级教师，首批河南省骨干教师，在《中学数学杂志》等发表文章102篇.