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【片段一】“数一数”教学
师1：一亿有多大呢？谁来猜一猜，如果老师照1、2、3、4、5……这种速度数下去（边数边拍节奏），从1数到1亿要用多少时间？
生猜测，各种答案都有。
师1：一亿到底有多大呢？那我们来数一数，体会一下从1数到1亿要多少时间？下面老师来数，请同学们看大屏幕帮老师计时。
多媒体大屏幕显示钟面上时间的变化，老师数数时故意表现吃力，数到100停顿。
师1：用了多少时间？（板书：100 80秒）照這样的速度，数到1000要多少时间？数到一万呢？你能用这种方法推算出数到1亿用多少时间吗？（板书生成推算表格）
学生分组合作，借助表格推算从1数到1亿用的时间，初步感受1亿到底有多大。
师2：1亿到底有多大呢？下面我们来做一个实验，先分小组数一数，看一看数100本练习本要多少秒？
生：老师，本子不够，我们只有20本。
师2：20本本子不够可以循环数5次，不正好是100本吗？
学生拿出自带的小钟，分组合作，借助表格推算数1亿本本子要用的时间，感受1亿到底有多大。
【片段二】“排一排”“称一称”教学
师1：刚才我们一起研究了从1数到1亿要用多少时间。你还想研究哪些关于1亿的东西？
生1：我想研究数1亿本本子要用多少时间。
生2：我想研究1亿枚一元的硬币摞在一起有多高。
生3：我想研究1亿个人合在一起有多重。
生4：我想研究1亿粒大米有多重。
生5：我想研究1亿个小朋友手拉手站成一排有多长。
……
师1：同学们想研究的问题可真不少，下面我们就选择一个你感兴趣的问题进行研究吧。每个小组先讨论一下想研究的哪个问题，你们准备怎样研究这个问题呢？（小组讨论）
生6：我们小组想研究一亿枚一元硬币摞在一起有多高，用刚才数数的方法来研究这个问题。
师1：能不能向同学们介绍一下你们的研究步骤？
生1：我们想先量一量100枚硬币摞起来有多高，然后用填表的方法推出1000、10000……1亿枚硬币的高度。
生2：老师，硬币不够，我们只有10枚。
师1：是呀，只有10枚，不够100枚。大家想想怎么办呢？
生：我有一个办法，可以就量10枚硬币的高度，再推算出100、1000等硬币摞起来的高度。
师1：你的办法真好。
接下来又请了一个小组汇报讨论结果及研究方法，学生活动，教师巡视，分组指导。
由于研究1亿粒大米有多重的小组在研究过程中出现了失误，用时较多，造成汇报交流的时间不充分，本节课的收尾比较匆忙。
师2：刚才我们一起研究了数1亿本本子要用多少时间，接下来我们一起研究“1亿个小朋友手拉手站成一排有多长”。
师2：我们先请10个同学手拉手站成一排，哪一个同学来给老师帮个忙，量一量这10个小朋友手拉手站成一排的长度？
学生帮忙，师生共同测量出10个同学手拉手的长度。
师2：请同学们填表推算出1亿个小朋友手拉手站成一排的长度。
师2：说说你有什么感受。
下面的教学按照前面的步骤用“称一称”的方法师生共同研究出了“1亿粒大米的重量”。
由于每一个环节都是在教师参与下师生共同完成的，所以教学的时间安排比较合理，按时完成了教学任务。
【回放】评课时，老师们的意见发生了分歧。一方认为师2的教学设计平稳，教学流程清晰流畅，教学目标达成度高，上得较好。师1最大的不足是分组活动时间较长，该课虎头蛇尾，令人遗憾。另一方认为师2的教学虽然平稳，完成了教学任务，但在教学中过于追求预设，教师牵着学生的鼻子走，学生完全没有自己的体会、思维和创新。而师1尊重学生的自主选择，体现了“教”为“学”服务的思想，是授人以渔，利于学生创新思维的培养。虽然学生在操作中出现了一点失误，课的收尾有点匆忙，但正是这点失误才显示了这节课的真实性，也正是出现了失误，解决了问题才生成了精彩，更显现了这节课的价值，这是一种缺憾的美。
【反思】基础教育课程改革的核心理念是重视对学生创新意识和实践能力的培养，教师在教学中要激发学生学习数学的好奇心和求知欲，促使学生独立思考，发现、提出、分析并创造性地解决问题，使数学学习成为再发现、再创造的过程，从而促进学生创新思维的养成。这一理念不仅要体现在教学目标上，更应体现在教学活动中，通过创设有意义的问题情境或数学活动，组织学生动手实践、自主探索、合作交流，激励每一个学生独立探索，达到获取知识、培养创新能力的目标。回头再看两位教师的教学，笔者认为这一点在师1的课堂上得了充分体现。
1.创新意识萌生于细微处
每个学生的内心都有一种需要——总希望自己是一个发现者、研究者、探索者。若教师在教学过程中善于抓住每一个细微之处，把教学和学生的这种需要相结合，学生的创新思维就会得到训练，创新能力就会得到培养和发展。师1的教学中当学生提出研究1亿枚硬币摞起来的高度遇到硬币枚数不够的问题时，老师没有急于给予解决，而是通过追问：是呀，只有10枚，不够100枚，大家想想怎么办。巧妙地将问题再抛给学生，调动全班学生积极参与思考，肯定学生的能力，从而解决问题萌生创新意识。师2在学生遇到数学本的本数不够时没有进行引导，直接告知学生解决方式：可以循环数5次。没有体现学生的主体性，学生处于接收状态，缺乏思考，是被动的学习，更谈不上创新意识的培养。说起创新能力的培养，也许很多人会感到无从下手，其实不然，创新就在我们身边，如案例中师1的做法，创新在细微之处闪光。 2.创新思维起步在模仿里
虽然《数学课程标准》强调有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，但模仿和创新，它们并不是对立的，而是你中有我，我中有你，互相促进的循环系统，正如文学家茅盾所說：“模仿是创新的起点。”一味地提倡创新学习可能会让教学误入歧途，而有效的模仿却是一种学习，一种吸收，是一种取长补短的方法。可以说模仿是种子，创新是收获。上述案例师2的教学中学生完全在老师的导演下表演，连基本的模仿都称不上，更不要说创新了。师1则不然，“你还想研究哪些关于1亿的东西？”“准备怎样研究？ 说说你们的研究步骤。”等一系列问题将学生引入模仿的轨道，帮助学生再次建构。学生多样化的研究课题显现了其丰富的想象力，在研究1亿枚硬币时将100改为10的细微变化就是一种创新。当然从模仿到创新是一个曲折的过程，需要教师和学生以一个正确的方法来对待模仿，不能让模仿变成机械的重复，模仿时要将别人的东西为我所用并添加个人特色，就是走向创新的第一步。
3.创新思维生长于生成时
“凡事预则立，不预则废”充分表达了预设的重要性，可以说课前的精心预设是课堂教学成功的前提。而真实有效的课堂教学往往是不确定的，是可以预设，但无法规定的，它是一个多向互动、动态生成的过程。从师1的教学过程中可以明显看出课前该教师对课堂进行了精心预设，只是在动态的课堂中出现了预设之外的因素。这时教师不是紧紧抓住教案，也没有慌张，而是更多地关注学生在课堂活动中的动态生成，把学生在学习过程中产生的问题作为生成性教学资源加以开发利用，组织小组学生讨论，寻找“称一称”小组操作活动中的失误之处，通过辨析解决问题，促进学生对知识进一步了解的同时，学生的创新思维也得到了发展。师2的教学中预设痕迹严重，学生的“排一排”“称一称”等操作活动只是机械地执行教师的指令，属于“被动”操作，充当的是“操作工”和“帮工”的角色，他们无须动脑思考，缺少探索与创新的机会，扼杀了学生的创造能力和想象力。
数学教学的重点在于培养学生的思维能力、探究能力，而创新思维又是数学思维中的重要品质。教学中教师要树立正确的教学观，善于抓住细微之处调动学生的兴趣，激活学生的思维，使学生的创新意识和创新能力在潜移默化中得到培养。也许课堂中会因这样或那样的生成导致课堂教学时间的流失，以至于该课没有一个完美的结尾，但学生的创新思维得到训练，创新能力得到培养，这样的课难道不是一种缺憾的美吗？[?]
师1：一亿有多大呢？谁来猜一猜，如果老师照1、2、3、4、5……这种速度数下去（边数边拍节奏），从1数到1亿要用多少时间？
生猜测，各种答案都有。
师1：一亿到底有多大呢？那我们来数一数，体会一下从1数到1亿要多少时间？下面老师来数，请同学们看大屏幕帮老师计时。
多媒体大屏幕显示钟面上时间的变化，老师数数时故意表现吃力，数到100停顿。
师1：用了多少时间？（板书：100 80秒）照這样的速度，数到1000要多少时间？数到一万呢？你能用这种方法推算出数到1亿用多少时间吗？（板书生成推算表格）
学生分组合作，借助表格推算从1数到1亿用的时间，初步感受1亿到底有多大。
师2：1亿到底有多大呢？下面我们来做一个实验，先分小组数一数，看一看数100本练习本要多少秒？
生：老师，本子不够，我们只有20本。
师2：20本本子不够可以循环数5次，不正好是100本吗？
学生拿出自带的小钟，分组合作，借助表格推算数1亿本本子要用的时间，感受1亿到底有多大。
【片段二】“排一排”“称一称”教学
师1：刚才我们一起研究了从1数到1亿要用多少时间。你还想研究哪些关于1亿的东西？
生1：我想研究数1亿本本子要用多少时间。
生2：我想研究1亿枚一元的硬币摞在一起有多高。
生3：我想研究1亿个人合在一起有多重。
生4：我想研究1亿粒大米有多重。
生5：我想研究1亿个小朋友手拉手站成一排有多长。
……
师1：同学们想研究的问题可真不少，下面我们就选择一个你感兴趣的问题进行研究吧。每个小组先讨论一下想研究的哪个问题，你们准备怎样研究这个问题呢？（小组讨论）
生6：我们小组想研究一亿枚一元硬币摞在一起有多高，用刚才数数的方法来研究这个问题。
师1：能不能向同学们介绍一下你们的研究步骤？
生1：我们想先量一量100枚硬币摞起来有多高，然后用填表的方法推出1000、10000……1亿枚硬币的高度。
生2：老师，硬币不够，我们只有10枚。
师1：是呀，只有10枚，不够100枚。大家想想怎么办呢？
生：我有一个办法，可以就量10枚硬币的高度，再推算出100、1000等硬币摞起来的高度。
师1：你的办法真好。
接下来又请了一个小组汇报讨论结果及研究方法，学生活动，教师巡视，分组指导。
由于研究1亿粒大米有多重的小组在研究过程中出现了失误，用时较多，造成汇报交流的时间不充分，本节课的收尾比较匆忙。
师2：刚才我们一起研究了数1亿本本子要用多少时间，接下来我们一起研究“1亿个小朋友手拉手站成一排有多长”。
师2：我们先请10个同学手拉手站成一排，哪一个同学来给老师帮个忙，量一量这10个小朋友手拉手站成一排的长度？
学生帮忙，师生共同测量出10个同学手拉手的长度。
师2：请同学们填表推算出1亿个小朋友手拉手站成一排的长度。
师2：说说你有什么感受。
下面的教学按照前面的步骤用“称一称”的方法师生共同研究出了“1亿粒大米的重量”。
由于每一个环节都是在教师参与下师生共同完成的，所以教学的时间安排比较合理，按时完成了教学任务。
【回放】评课时，老师们的意见发生了分歧。一方认为师2的教学设计平稳，教学流程清晰流畅，教学目标达成度高，上得较好。师1最大的不足是分组活动时间较长，该课虎头蛇尾，令人遗憾。另一方认为师2的教学虽然平稳，完成了教学任务，但在教学中过于追求预设，教师牵着学生的鼻子走，学生完全没有自己的体会、思维和创新。而师1尊重学生的自主选择，体现了“教”为“学”服务的思想，是授人以渔，利于学生创新思维的培养。虽然学生在操作中出现了一点失误，课的收尾有点匆忙，但正是这点失误才显示了这节课的真实性，也正是出现了失误，解决了问题才生成了精彩，更显现了这节课的价值，这是一种缺憾的美。
【反思】基础教育课程改革的核心理念是重视对学生创新意识和实践能力的培养，教师在教学中要激发学生学习数学的好奇心和求知欲，促使学生独立思考，发现、提出、分析并创造性地解决问题，使数学学习成为再发现、再创造的过程，从而促进学生创新思维的养成。这一理念不仅要体现在教学目标上，更应体现在教学活动中，通过创设有意义的问题情境或数学活动，组织学生动手实践、自主探索、合作交流，激励每一个学生独立探索，达到获取知识、培养创新能力的目标。回头再看两位教师的教学，笔者认为这一点在师1的课堂上得了充分体现。
1.创新意识萌生于细微处
每个学生的内心都有一种需要——总希望自己是一个发现者、研究者、探索者。若教师在教学过程中善于抓住每一个细微之处，把教学和学生的这种需要相结合，学生的创新思维就会得到训练，创新能力就会得到培养和发展。师1的教学中当学生提出研究1亿枚硬币摞起来的高度遇到硬币枚数不够的问题时，老师没有急于给予解决，而是通过追问：是呀，只有10枚，不够100枚，大家想想怎么办。巧妙地将问题再抛给学生，调动全班学生积极参与思考，肯定学生的能力，从而解决问题萌生创新意识。师2在学生遇到数学本的本数不够时没有进行引导，直接告知学生解决方式：可以循环数5次。没有体现学生的主体性，学生处于接收状态，缺乏思考，是被动的学习，更谈不上创新意识的培养。说起创新能力的培养，也许很多人会感到无从下手，其实不然，创新就在我们身边，如案例中师1的做法，创新在细微之处闪光。 2.创新思维起步在模仿里
虽然《数学课程标准》强调有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，但模仿和创新，它们并不是对立的，而是你中有我，我中有你，互相促进的循环系统，正如文学家茅盾所說：“模仿是创新的起点。”一味地提倡创新学习可能会让教学误入歧途，而有效的模仿却是一种学习，一种吸收，是一种取长补短的方法。可以说模仿是种子，创新是收获。上述案例师2的教学中学生完全在老师的导演下表演，连基本的模仿都称不上，更不要说创新了。师1则不然，“你还想研究哪些关于1亿的东西？”“准备怎样研究？ 说说你们的研究步骤。”等一系列问题将学生引入模仿的轨道，帮助学生再次建构。学生多样化的研究课题显现了其丰富的想象力，在研究1亿枚硬币时将100改为10的细微变化就是一种创新。当然从模仿到创新是一个曲折的过程，需要教师和学生以一个正确的方法来对待模仿，不能让模仿变成机械的重复，模仿时要将别人的东西为我所用并添加个人特色，就是走向创新的第一步。
3.创新思维生长于生成时
“凡事预则立，不预则废”充分表达了预设的重要性，可以说课前的精心预设是课堂教学成功的前提。而真实有效的课堂教学往往是不确定的，是可以预设，但无法规定的，它是一个多向互动、动态生成的过程。从师1的教学过程中可以明显看出课前该教师对课堂进行了精心预设，只是在动态的课堂中出现了预设之外的因素。这时教师不是紧紧抓住教案，也没有慌张，而是更多地关注学生在课堂活动中的动态生成，把学生在学习过程中产生的问题作为生成性教学资源加以开发利用，组织小组学生讨论，寻找“称一称”小组操作活动中的失误之处，通过辨析解决问题，促进学生对知识进一步了解的同时，学生的创新思维也得到了发展。师2的教学中预设痕迹严重，学生的“排一排”“称一称”等操作活动只是机械地执行教师的指令，属于“被动”操作，充当的是“操作工”和“帮工”的角色，他们无须动脑思考，缺少探索与创新的机会，扼杀了学生的创造能力和想象力。
数学教学的重点在于培养学生的思维能力、探究能力，而创新思维又是数学思维中的重要品质。教学中教师要树立正确的教学观，善于抓住细微之处调动学生的兴趣，激活学生的思维，使学生的创新意识和创新能力在潜移默化中得到培养。也许课堂中会因这样或那样的生成导致课堂教学时间的流失，以至于该课没有一个完美的结尾，但学生的创新思维得到训练，创新能力得到培养，这样的课难道不是一种缺憾的美吗？[?]