谈特殊四边形的识别

来源 :中学生数理化·八年级数学人教版 | 被引量 : 0次 | 上传用户:hyt1217
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  特殊的平行四边形及等腰梯形是四边形的主要内容,它们的应用非常广泛.现就它们的识别条件举例说明,供同学们参考.
  
  [一、平行四边形]
  
  例1(2007年·吉林省)如图1,有一矩形纸片ABCD,翻折∠B、∠D,使BC、AD恰好落在AC上.设F、H分别是B、D落在AC上的点,E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点.求证:四边形AECG是平行四边形.
  分析:要证明四边形AECG是平行四边形,题中已有条件CG∥AE,因此可考虑证明CG= AE,利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”;也可以考虑证明AG∥CE,利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”.下面用第二种思路证明.
  
  分析:要证明四边形ADCE为矩形,题设中已有两个角是直角的条件,可考虑利用“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明,故只要证明∠DAE是直角即可.
  证明:在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,所以∠BAD=∠DAC.因为AN是△ABC外角∠CAM的平分线,所以∠MAE=∠CAE.故∠DAE=∠DAC ∠CAE=×180°=90°.又因为AD⊥BC,CE⊥AN,所以四边形ADCE为矩形.
  点评:矩形常见的判定方法有:①三个角是直角的四边形;②有一个角是直角的平行四边形;③两条对角线相等的平行四边形.
  
  [三、菱形]
  
  例3(2007年·双柏)如图3,在梯形纸片ABCD中,AD∥BC,AD>CD.将纸片沿过点D的直线折叠,使点C落在AD上的点C1处,折痕DE交BC于点E.求证:四边形CDC1E是菱形.
  
  例4(2006年·深圳)如图4所示,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线,要使四边形ABCD是正方形,则还需增加的一个条件是________.
  分析:这是一道开放型题目.根据已知条件知四边形ABCD是菱形,要使四边形ABCD是正方形,按其判定方法只要增加条件∠BAD=90°,或∠ABD=45°,或AC=BD等.
  解:略.
  点评:正方形常见的判定方法有:①有一组邻边相等的矩形;②有一个角是直角的(或对角线相等的)菱形.
  
  [五、等腰梯形]
  
  例5(2007年·连云港)如图5,在等腰△ABC中,AB=AC.BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为点D、E,连接DE.求证:四边形BCDE是等腰梯形.
  
  分析:要证明四边形BCDE是等腰梯形,首先要证明它是梯形,再证明其两腰相等即可.由图形知BE与CD显然不平行,因此要证明DE∥BC,可通过“同位角相等,两直线平行”来解决.要证明这个梯形是等腰梯形,可通过说明两腰相等的方法达到.
  证明:在等腰△ABC中,AB= AC,∠ABC=∠ACB.因为BD⊥AC,CE⊥AB,所以∠BEC=∠CDB=90°.又BC=CB,所以△BEC≌△CDB(AAS).于是BE=CD.从而AB-BE= AC-CD,即AE=AD.所以∠AED=∠ADE.所以 ∠ABC=∠AED=1/2(180°-∠A).所以DE∥BC.而BE与CD不平行,所以四边形BCDE是梯形.又因为BE=CD,故四边形BCDE是等腰梯形.
  点评:等腰梯形常见的判定方法有:①两腰相等的梯形;②同一底上的两个角相等的梯形;③对角线相等的梯形.
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