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在导数及其应用这一部分内容中，利用导数这一工具求解函数单调性、极值与最值问题，一直是教学过程中的重点和难点，也是历年高考考试热点.
出现含有参数的函数更是学生最为苦恼的问题，很多时候，按照常规的解法，总是忽略了对参数变量的取值范围的讨论，导致经常出现讨论不完全、结论不完整的解题过程.更有甚者，一看到含参数的题目，直接跳过去，放弃此题，有破罐子破摔的想法.
对参数的讨论是一道坎，是否能够讨论清楚可以反映一名学生在数学学习过程知识的扎实程度.但不是所有的学生都能很好地掌握这一方法.能不能在含参数的某些典型题型中，利用一些方法，绕过对参数的讨论呢？
我们通过以下几个例题来讨论含参函数的这一类问题.
例1 已知函数f(x)=x3+2x2+x.若对于任意x∈(0,+∞)，f(x)≥ax2恒成立，求实数a的取值范围.
解法一 任意x∈(0,+∞)，f(x)≥ax2恒成立，即x∈(0,+∞)，f(x)-ax2≥0恒成立.
∴只需满足对于任意x∈(0,+∞)，(f(x)-ax2)min≥0 即可.
而f(x)-ax2=x3+2x2+x-ax2=x［x2+(2-a)x+1］，
令g(x)=x2+(2-a)x+1，
则函数g(x)的对称轴x=a-22.又g(x)过点(0,1)，
①当x=a-22<0，即a<2时，(f(x)-ax2)min≥0满足条件；
②当x=a-22≥0，Δ≤0时，(f(x)-ax2)min≥0也成立，所以2≤a≤4.
综合以上，可以知道，当a∈(-∞,4］时，对于任意x∈(0,+∞)，f(x)≥ax2恒成立.
解法二 依题意，得f(x)-ax2=x3+2x2+x-ax2=x［x2+(2-a)x+1］.
由已知x［x2+(2-a)x+1］≥0对于任意x∈(0,+∞)恒成立，∴x2+(2-a)x+1≥0对于任意x∈(0,+∞)恒成立，
即a-2≤1x+x对于任意x∈(0,+∞)恒成立.
∵x>0，∴1x+x≥2（当且仅当x=1时取“=”号），
∴1x+x的最小值为2.
由a-2≤2，得a≤4，所以对于任意x∈(0,+∞)，f(x)≥ax2恒成立时，实数a的取值范围是(-∞,4］.
点评 解法一把恒成立问题转化为解二次函数最值问题，思路很明确，只是本题在求解最值问题时，必须在对二次函数图像有很强的理解能力的基础上，才能正确的对参数a进行分析、讨论.而解法二另辟新径，提取参数a，用自变量x来表示a，不仅明确了要求解的目标，更是绕过了对参数a的讨论，条理清楚，更加容易上手.
例2 已知函数f(x)=ax2+2ln(x+1),其中a为实数.若f(x)在［2,3］上是增函数，求a的取值范围.
解法一 依题意，得f′(x)>0对x∈［2,3］恒成立，
∴2ax+2x+1>0，即ax2+ax+1x+1>0.
∵1+x>0，∴ax2+ax+1>0对x∈［2,3］恒成立.
令g(x)=ax2+ax+1，
（1）当a=0时，1>0恒成立；
（2）当a<0时，抛物线g(x)开口向下，可得g(x)min=g(3)>0，即9a+3a+1≥0，∴0>a>-112；
（3）当a>0时，抛物线g(x)开口向上，可得g(x)min=g(2)>0，即4a+2a+1>0，∴a>-16，即a>0.
又 ∵a=-112时符合题意，∴综上可得a≥-112为所求.
解法二 依题意，得f′(x)=2ax+2x+1.
f(x)>0对x∈［2,3］恒成立，∴2ax+2x+1>0，
∴2ax>-21+x，a>1-x2-x=1-x+122+14.
∵x∈［2,3］,
∴-x+122+14的最小值为-3+122+14=-12，
∴1-x+122+14的最大值为-112.
又 ∵a=-112时符合题意，∴a≥-112为所求.
点评 这是一道很典型的求参数取值范围的题目，两种解法各有优劣，解法二依然是利用提取参数a，分离两个变量，用自变量x来表示a，这样的话，要求解参数a的取值范围，就转化为我们较熟悉的二次函数的最值问题，使问题明朗化.
通过上面两个例子的分析，我们可以发现，在已知含参数不等式恒成立的前提下，求解参数取值范围这一类问题，除了直接利用最值求解这一方法外，我们还可以利用分离参数这一方法，根据题意，把含参数不等式转化为以自变量x来表示参数的不等式，这样，我们就能够避免对参数取值范围的讨论，而直接切中题目的关键，把题目转化为求解含有关于变量x的式子的最值问题，而这就可以利用我们熟悉的导数工具来解决了.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
出现含有参数的函数更是学生最为苦恼的问题，很多时候，按照常规的解法，总是忽略了对参数变量的取值范围的讨论，导致经常出现讨论不完全、结论不完整的解题过程.更有甚者，一看到含参数的题目，直接跳过去，放弃此题，有破罐子破摔的想法.
对参数的讨论是一道坎，是否能够讨论清楚可以反映一名学生在数学学习过程知识的扎实程度.但不是所有的学生都能很好地掌握这一方法.能不能在含参数的某些典型题型中，利用一些方法，绕过对参数的讨论呢？
我们通过以下几个例题来讨论含参函数的这一类问题.
例1 已知函数f(x)=x3+2x2+x.若对于任意x∈(0,+∞)，f(x)≥ax2恒成立，求实数a的取值范围.
解法一 任意x∈(0,+∞)，f(x)≥ax2恒成立，即x∈(0,+∞)，f(x)-ax2≥0恒成立.
∴只需满足对于任意x∈(0,+∞)，(f(x)-ax2)min≥0 即可.
而f(x)-ax2=x3+2x2+x-ax2=x［x2+(2-a)x+1］，
令g(x)=x2+(2-a)x+1，
则函数g(x)的对称轴x=a-22.又g(x)过点(0,1)，
①当x=a-22<0，即a<2时，(f(x)-ax2)min≥0满足条件；
②当x=a-22≥0，Δ≤0时，(f(x)-ax2)min≥0也成立，所以2≤a≤4.
综合以上，可以知道，当a∈(-∞,4］时，对于任意x∈(0,+∞)，f(x)≥ax2恒成立.
解法二 依题意，得f(x)-ax2=x3+2x2+x-ax2=x［x2+(2-a)x+1］.
由已知x［x2+(2-a)x+1］≥0对于任意x∈(0,+∞)恒成立，∴x2+(2-a)x+1≥0对于任意x∈(0,+∞)恒成立，
即a-2≤1x+x对于任意x∈(0,+∞)恒成立.
∵x>0，∴1x+x≥2（当且仅当x=1时取“=”号），
∴1x+x的最小值为2.
由a-2≤2，得a≤4，所以对于任意x∈(0,+∞)，f(x)≥ax2恒成立时，实数a的取值范围是(-∞,4］.
点评 解法一把恒成立问题转化为解二次函数最值问题，思路很明确，只是本题在求解最值问题时，必须在对二次函数图像有很强的理解能力的基础上，才能正确的对参数a进行分析、讨论.而解法二另辟新径，提取参数a，用自变量x来表示a，不仅明确了要求解的目标，更是绕过了对参数a的讨论，条理清楚，更加容易上手.
例2 已知函数f(x)=ax2+2ln(x+1),其中a为实数.若f(x)在［2,3］上是增函数，求a的取值范围.
解法一 依题意，得f′(x)>0对x∈［2,3］恒成立，
∴2ax+2x+1>0，即ax2+ax+1x+1>0.
∵1+x>0，∴ax2+ax+1>0对x∈［2,3］恒成立.
令g(x)=ax2+ax+1，
（1）当a=0时，1>0恒成立；
（2）当a<0时，抛物线g(x)开口向下，可得g(x)min=g(3)>0，即9a+3a+1≥0，∴0>a>-112；
（3）当a>0时，抛物线g(x)开口向上，可得g(x)min=g(2)>0，即4a+2a+1>0，∴a>-16，即a>0.
又 ∵a=-112时符合题意，∴综上可得a≥-112为所求.
解法二 依题意，得f′(x)=2ax+2x+1.
f(x)>0对x∈［2,3］恒成立，∴2ax+2x+1>0，
∴2ax>-21+x，a>1-x2-x=1-x+122+14.
∵x∈［2,3］,
∴-x+122+14的最小值为-3+122+14=-12，
∴1-x+122+14的最大值为-112.
又 ∵a=-112时符合题意，∴a≥-112为所求.
点评 这是一道很典型的求参数取值范围的题目，两种解法各有优劣，解法二依然是利用提取参数a，分离两个变量，用自变量x来表示a，这样的话，要求解参数a的取值范围，就转化为我们较熟悉的二次函数的最值问题，使问题明朗化.
通过上面两个例子的分析，我们可以发现，在已知含参数不等式恒成立的前提下，求解参数取值范围这一类问题，除了直接利用最值求解这一方法外，我们还可以利用分离参数这一方法，根据题意，把含参数不等式转化为以自变量x来表示参数的不等式，这样，我们就能够避免对参数取值范围的讨论，而直接切中题目的关键，把题目转化为求解含有关于变量x的式子的最值问题，而这就可以利用我们熟悉的导数工具来解决了.
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