【摘 要】
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近年来,由于分数阶微积分的非局部性,越来越多的物理学、电磁学、电化学、扩散和一般输运理论中的问题都可以用分数阶微积分方法来描述,作为一种新的建模工具,它在许多领域都有着广泛的应用.然而,在研究的过程中,越来越多的学者发现许多重要的动力学问题都表现出分数阶的特性,比如说其随时间、空间或其他条件的变化而变化.这一现象表明,变阶分数阶微积分是一种自然的选择,它为复杂数学的描述提供了一个有效的数学框架.伴
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近年来,由于分数阶微积分的非局部性,越来越多的物理学、电磁学、电化学、扩散和一般输运理论中的问题都可以用分数阶微积分方法来描述,作为一种新的建模工具,它在许多领域都有着广泛的应用.然而,在研究的过程中,越来越多的学者发现许多重要的动力学问题都表现出分数阶的特性,比如说其随时间、空间或其他条件的变化而变化.这一现象表明,变阶分数阶微积分是一种自然的选择,它为复杂数学的描述提供了一个有效的数学框架.伴随着变阶分数阶微积分在各个领域的成功应用,变阶分数阶微积分方程数值解的研究受到了广泛的关注.变阶分数阶微积分方程的复杂性使得我们几乎不可能找到它们封闭形式的解析解,所以在解决实际问题时采用数值方法进行模拟就显得尤为重要.有限差分法是求解分数阶波动方程常用的一种数值解法,本文主要在H2N2逼近的基础上考虑一维和二维变阶时间分数阶波动方程的初边值问题,对其建立有限差分格式,并进行相关的理论分析,同时给出相应的数值算例说明所得差分格式的可行性.具体地说,我们运用差分离散的方法为一维变阶时间分数阶波动方程的初边值问题构造出一个时间方向上为3-γ*（γ*=（?）γ（t））阶,空间方向上为2阶的差分格式,证明差分格式的唯一可解性,并运用离散的能量分析法证明差分格式的稳定性和其在L∞范数下的收敛性.随后,文章将研究一维空间问题的方法应用于二维变阶时间分数阶波动方程.基于二维变阶时间分数阶波动方程的差分格式,添加一个小量项,建立一个时间方向上为3-γ*（γ*=（?）γ（t））阶,空间方向上为2阶的ADI差分格式,给出差分格式的可解性证明,并研究数值解在L~2范数下的稳定性和收敛性.
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