小波分析及其应用在数值分析以及信息科学等诸多领域越来越受到关注，本文研究其中的几个问题以理论与方法研究为主，并将相关理论结果成功地应用于信号与图像处理中。 本文以多进制小波与对偶树二进制系数复数小波算法设计、三角变换对角化系统MGM算法、Topelitz系统的小波与MGM结合算法作为理论主线，以对偶树复数小波与扩散方程方法结合的图像去噪，信号与恢复作为应用背景展开讨论。理论成果主要包括：(1)对于对偶树二进制系数复数小波，利用Hilbert变换对性质、完全重构条件并结合新的提升格式构造研究了含参系数多进制小波构造方法，作为特例得到具有线性相位的对偶树二进制系数复数小波构造方法；(2)对于广义离散傅立叶变换(GFT)与正弦变换对角化系统，提出了高效、快速的多重网格算法，理论上证明了算法的收敛性；(3)研究了Toeplitz矩阵在多进制小波变换下的代数结构，验证了多项式生成函数构成的Toeplitz系统在小波变换下的稀疏带宽性质，从而建立基于小波变换求解Toeplitz系统的快速求解方法，运算量级控制在O(N)，其中N为系统的阶。(4)利用小波变换设计了多重网格算法迭代过程中的延拓与插值算子，提出了基于多进制小波与多重网格算法的Toeplitz系统求解，数值实验验证了算法的有效性。应用成果主要包括：(1)提出了基于小波、PCG以及MGM方法相结合的信号与图像正则化恢复方法，仿真试验表明算法具有高效、高精度的特点。(2)提出了多元萎缩相关阈值去噪方法，结合复数小波、扩散方程以及图像增强技术，得到一种时域与频率方法相结合的图像去噪方法，仿真试验表明本文方法具有良好的去噪性能。本文还研究了一类抛物型变分不等式区域分解算法，证明了算法的收敛性且收敛不依赖于空间格子尺寸以及时间步长。