分数阶微积分方程广泛应用于物理、生物、化学等多个学科领域,是由经典微积分方程推广而来,它的研究不仅对微积分的发展具有重要意义,而且在物理领域和工程技术发展领域具有广阔的应用前景。因此,探索分数阶微积分方程的理论及应用已经成为了人们关注的焦点。最近大量的研究结果显示,分数阶微分方程中扩散系数的取值与时间、空间的变化有着密切关联。但是构成这类问题解析解的解析式只能在一些特定情况下求解。所以求解分数阶微分方程的通用而有效的数值方法备受国内外学者的关注和青睐。研究内容主要包含三个部分:在第一部分中,主要介绍了将有限差分方法应用在求解空间分数阶变系数扩散方程中的过程,着重推导了研究格式构造的步骤以及证明格式的有效性和收敛性;在第二部分中,主要介绍了有限差分方法在求解时间分数阶变系数扩散方程中的应用,研究了该格式建立的过程和有效性。数值实验结果表明,采用了新建立的有限差分格式来求解分数阶偏微分方程的近似解析解是非常可靠的;在第三部分中,通过构造一种隐式的有限差分格式来求解时间分数阶变系数对流扩散型方程的数值解,理论分析证明了该格式的稳定性以及分析了误差估计,并通过数值实验结果显示所建立的格式的精准性。