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为通过子群的性质来研究有限群的结构,郭文彬曾引入了条件置换子群和完全条件置换子群的概念,并研究了这些子群的某些性质对有限群结构的影响.我们继续这方面的研究,得到了超可解群和幂零群的一些充分条件.
首先,我们利用某些子群(如极大子群、Fitting子群的素数幂阶循环子群)的条件置换性给出了有限群为超可解群的一些充分条件.例如,我们证明了:
1.设G为可解群.如果F(G)的任意Sylow子群的循环子群均在G中条件置换,则G超可解.
2.设p为一个素数,G为p-可解群,又设N是G的正规子群使得G/N为p-超可解群.如果Ⅳ的极大子群均在G中条件置换,则G为p-超可解群.
其次,通过对极小子群(当p=2时附加4阶循环子群)的完全条件置换性进行研究,我们得出了有限群为超可解群和幂零群的一些充分条件.例如:
1.如果有限群G的极小子群均在G中完全条件置换,且G的每一个截断与四元数群不同构,则G超可解.
2.如果有限群G的极小子群都包含在G的超中心Z∞(G)中,且4阶循环子群均在G中完全条件置换,则G为幂零群.
从而推广了许多已知的相关结果.并且在群系的框架中讨论了Sylow子群以及Sylow子群的极大子群对有限群结构的影响,在利用子群的性质研究有限群的结构上具有一定的意义.