【摘 要】
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本学位论文旨在研究Abel引理与（f,g）-反演公式在建立超几何级数求和与变换公式,Lagrange反演公式在解决一些组合数学问题诸如代数方程的求根公式和Fuss-Catalan数列的生成函数上的应用.本文的内容如下:第一章给出了本文的研究背景以及所需的数学预备知识.其余四章是本文的主要内容.基于观点——Gosper求和公式仅仅是Abel引理的一个直接应用,它并不依赖于Gosper算法——本文第二
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本学位论文旨在研究Abel引理与（f,g）-反演公式在建立超几何级数求和与变换公式,Lagrange反演公式在解决一些组合数学问题诸如代数方程的求根公式和Fuss-Catalan数列的生成函数上的应用.本文的内容如下:第一章给出了本文的研究背景以及所需的数学预备知识.其余四章是本文的主要内容.基于观点——Gosper求和公式仅仅是Abel引理的一个直接应用,它并不依赖于Gosper算法——本文第二章利用Abel引理和Jacobi恒等式f（a,b）g（c,d）+f（a,c）g（d,b）+f（a,d）g（b,c）=0:将Gosper求和公式推广到了（f,g）-有限和变换公式.作为这个公式的具体应用,本章最后通过选取三对函数以及具体的参数序列,建立了三类特殊的（f,g）-变换公式和一些新的基本和theta超几何级数求和与变换公式.第三章是上一章关于Abel引理与（f,g）-求和公式的应用的延续.利用Weier-strass theta恒等式,首先给出了一些具体的（f,g）-有限和变换公式;其次,建立了一类6Ψ6级数非负部分和的两个递推关系.最后,从Weierstrass theta恒等式的角度对初文昌教授利用Abel引理证明许多超几何级数求和公式的方法进行了归纳总结.第四、五两章主要围绕一类特殊的代数方程xm+1+ax-b=0（A）展开讨论.具体而言,第四章首先利用Lagrange反演公式求解方程（A）并得到了一个幂级数解（?）.（B）紧接着,利用幂级数解（B）重新证明了一元n次（2 ≤n≤4）方程的求根公式.所用的方法完全不同于传统方法.此外,利用幂级数解（B）还给出了 m阶（1 ≤ m ≤4）Fuss-Catalan数列的生成函数.第五章讨论了幂级数解（B）在其它一些组合数学问题诸如卷积恒等式、正弦函数三倍角和五倍角公式的反演形式以及明安图问题上的应用,建立了一些有意义的结果.
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