回顾积分几何的发展历史，凸几何一直以来都是其研究的一个重要领域．凸体具有很多优美的性质，对它们的研究能够使我们发现和认识到其几何不变量之间的关系．概率和分析则是研究积分几何的重要工具．在研究欧氏空间Rn中一个凸体包含另一个凸体的充分条件方面，1941年德国数学家Hadwiger解决了平面时的情况，所以也被称为凸体的Hadwiger包含问题．但凸体的Hadwiger包含问题的高维情况的推广比较复杂，结果还在不断的完善．例如，周家足在《R4中的Willmore泛函与包含问题》中给出了4维情况下凸体的Hadwiger包含问题的一个充分条件．又如，张高勇在他近期的论文《Geometric inequalities and inclusion measures of convexbodies》中给出了n维情况下凸体的Hadwiger包含问题的一个充分条件．等周问题一直以来也是积分几何研究的一个重要领域，并且它和包含问题有着密切的联系．本文首先给出了欧氏空间Rn中凸体的Hadwiger包含问题的另外一个充分条件及与其相关的Bonnesen型不等式；其次研究证实了常曲率曲面的一些Bonnesen型不等式；最后，给出了欧氏空间Rn中等周亏格与域的体积、面积之间的两个关系式． 本文的主要结论如下： 推论2.6．假设K和L是Rn中的凸体，K的面积和体积分别为A(K)，V(K)，L的体积和平均宽度分别为V(L)，M(L)．当V(K)≥V(L)时，经过一个等距变换使得L()K的充分条件是 当n为2维情况时，这个推论就是著名的凸集的Hadwiger包含定理． 定理2.10(Bonnesen—type不等式)．如果rK和RK分别是Rn中凸体K的最大内接球半径和最小外接球半径，K的面积和体积分别为A(K)，V(K)．则有 定理3.1．若K是具有常高斯曲率k的欧氏球面上的紧致凸集，其中K的周长，面积，最大内接球半径和最小外接球半径分别为PK，AK，rK，RK．则有以下不等式： 定理3.7．若K是具有常高斯曲率—λ的双曲平面上的紧致凸集，其中K的周长，面积，最大内接球半径和最小外接球半径分别为PK，AK，rK，RK．则有以下不等式此时等式成立当且仅当K是一个双曲圆盘． 定理4.1．Rn中的单连通域D，表面积为A体积为V．D*是它的凸包，表面积为A*体积为V*．域D的等周亏格为△(D)=An—nnωnVn-1，其中ωn是n维单位球的体积．则 等式成立当且仅当域D是一个标准球． 定理4.2．Rn中的单连通域D，表面积为A体积为V．D*是它的凸包，表面积为A*体积为V*．域D的等周亏格为△(D)=An—nnωnVn-1，其中ωn是n维单位球的体积．如果A≥A*，则 其中常数C满足C＜nn/2n-2，等式成立当且仅当域D是一个标准球．