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本文主要研究含有超线性项和奇异项的椭圆型偏微分方程正解的存在性. 首先，讨论了R2中一类不含Amborosetti-Rabinowitz(简称AR)增长条件的超线性非齐次椭圆方程-△u+V(x)u=f(u)+ h(x),x∈R2,其中-△是Laplace算子，h:R2→R.V，f分别满足下列假设条件:(V1)V:R2→R连续且V(x)≥V0＞0对所有的x∈R2成立.(V2)函数[V(x)]-1∈L1（R2）.(f0)f∈C(R，R)，当t＞0时，f(t)＞0;当t≤0时，f(t)≡0.（f1）limt→02F(t)/t2=μ∈[0，λ1）.（f2）limt→+∞f(t)/t=l∈(λ1，+∞).（f"2）limt→+∞f(t)/t=+∞.（f2）limt→∞f(t)/t=+∞.（f3）limt→+∞f(t)/eαt2=0对所有的α＞0成立，即f(t)关于t在+∞处为次临界增长.(f4)f(t)/t关于t≥0单调不减.(f4)存在θ≥1，使得当t∈R和s∈[0，1]时，有θG(t)≥G（st）.这里F(t)=∫t0f(s)ds，G(t)=tf(t)-2F(t)，λ1=infu∈E{0}∫R2(|▽u|2+V(x)u2)dx/∫R2u2dx≥V0＞0. 如果(V1)，(V2)满足，且对所有的h(x)∈H-(这里H-为Sobolev空间H1(R2)的对偶空间，相应的范数记为‖·‖H-），若‖h‖H-1足够小，则利用变分方法，Ekeland变分原理及一个变形的山路引理可得如下结论: (1)当f满足(f0)，（f1），(f2)和（f3）时，方程至少存在两个不同的正解. (2)当f满足(f0)，（f1），（f"2），（f3）和（f4）时，方程至少存在一个正解. (3)当f满足(f0)，（f1），（f2），（f3）和（f4）时，方程至少存在一个正解.其次，用变分方法和上下解方法讨论了RN(N≥3)中一类奇异椭圆方程{-△u=h(x)f(u)+λW(x)up， x∈Ω，u=0， x∈(a)Ω,其中△是Laplace算子，Ω是RN(N≥3)中有光滑边界的有界区域，λ＞0是一个实参数，1＜p＜N+2/N-2是一个常数，h:Ω→R是非负非平凡的函数且h(x)∈L∞(Ω)，W(x)≥0且不恒为零，W(x)∈L∞(Ω)，h∈C（(Ω)），W∈C((Ω))，f∈C（R+，R+）满足假设条件:（f）f（u）是递减的，且limu→0+ f(u)=+∞，limu→+∞ f(u)=0，则当f满足条件(f)时，存在λ*＞0，使得对所有的λ∈(0，λ*)，上述方程至少存在一个正解.