由于控制数理论的研究越来越引起人们的重视,人们对控制数有了更深入的了解,提出了不同的控制数,例如全控制数、小控制数、负控制数、连通控制数等.这些类型的控制数的量的关系在图的结构中起着重要的作用.在长期的研究中,一些研究者们发现研究图的无赘数可以使人更深入的了解图的控制数理论.到目前为止,对于图的无赘数的研究已经越来越深入,研究者们也已经得到了图的无赘集的大量的性质.Cockayne和Mynhardt更是认为对全无赘数的讨论有利于我们更好的了解全控制数.事实上,Hedetniemi et al.在文[8]中给出了图的全无赘数的概念,并讨论了一些特殊图的全无赘数,而Odile favaron et al.在文[9]中进一步得到了图G满足ir<,t>(G)=0的充分必要条件和满足ir<,t>(T)=1的树T的结构.该文主要讨论的是满足ir<,t>(G)=1的图G的某些结构特征及满足ir(G)=ir<,t>(G)=1的图G的构成.得到的主要结果如下:(1)图G=(V,E)是经克隆-收缩后得到的图,v<,0>∈V,以v<,0>为第0层将图G中的点分层,若层数k>4,则有ir<,t>(G)≥2;(2)图G为连通图,v<,0>∈G,满足N[v<,0>]=V(G),若G<,1>,G<,2>,…,G<,k>为G-v<,0>的所有的连通分支,则Ξk<,0>∈{1,2,…,k},使得ir<,t>(G<,k0>)=1,ir<,t>(G<,i>)=0,i=1,2,…,k<,0>-1,k<,0>+1,…,k.其中对ir(G)=ir<,t>(G)=1的图G的结构的讨论部分的回答了文[9]中的开放问题(2).