延迟反应扩散方程与延迟Navier-Stokes方程是两类具有代表性的延迟偏微分方程,这些延迟方程在物理学、力学、生物学、自动控制理论、流体动力学和其它科学领域中有着广泛的应用。延迟方程的解不仅与方程所描述系统的当前状态有关,而且与系统的历史状态也有关联。因此,相较于无延迟偏微分方程,延迟偏微分方程能够描述更广泛的模型,从而达到更准确刻画现实世界发展变化趋势的目的。一般情况下,延迟方程的精确解难以直接得到。于是,构造高效且稳定的数值方法求解此类方程,并获得较精确的数值解一直是众多学者感兴趣的问题。另一方面,有限元方法在求解无延迟偏微分方程时已经展现了良好的稳定性和精确性,并且在用于求解部分特殊的延迟偏微分方程也保持了良好的性能。鉴于此,我们将拓展有限元方法来求解具常延迟的中立型反应扩散方程、具分段连续变元的中立型反应扩散方程和具时变延迟的不可压缩Navier-Stokes方程,并分析方法的收敛性和稳定性等重要的数值性质。首先,我们简要介绍了延迟反应扩散方程和延迟Navier-Stokes方程的研究背景和研究现状,回顾了有限元方法求解延迟偏微分方程的研究结果,并概述了本文的研究动机和主要研究内容。为了求解具常延迟的二维中立型反应扩散方程,我们构造了半离散有限元方法和Crank-Nicolson全离散有限元方法。在适当的假设条件下,我们得到了有限元方法的时间依赖稳定性以及L~2和H~1范数下的收敛阶,并利用数值实验进一步验证了数值方法的有效性和收敛阶。针对具常延迟的二维中立型反应扩散方程,我们分析了其解析解和有限元方法数值解的长时间渐近稳定性。通过构造合适的Lyapunov函数,我们得到了此类方程解析解渐近稳定的条件,随后在此条件下,证明了半离散有限元方法和Crank-Nicolson全离散有限元方法保持了此类方程的渐近稳定性,并利用数值实验验证了所得到的稳定性结果。为了求解具分段连续变元的中立型反应扩散方程,我们构造了半离散和全离散有限元方法。在一些适当的条件下,我们分析了半离散有限元方法和具有参数θ（0≤θ≤1）的单参数全离散有限元方法在L~2范数和H~1范数下的收敛阶,证明了全离散方法的唯一可解性,并用数值实验验证了数值方法的有效性和收敛阶。针对具分段连续变元的中立型反应扩散方程,我们分析了其解析解和有限元方法数值解的长时间渐近稳定性。首先,我们使用分离变量方法得到了此类方程解析解的表达式,并根据此表达式得到了解析解渐近稳定的条件,随后,我们分析了半离散和单参数全离散有限元方法关于此类方程的渐近稳定性,并通过典型的数值算例验证了所得到的理论结果。我们拓展了有限元方法求解具有时变延迟的二维不可压缩Navier-Stokes方程。我们构造了此类方程的空间半离散有限元方法,并在适当的条件下,运用得到的精确解有界性结果,给出了有限元方法速度项误差分析。通过速度项误差和压力项误差之间的联系,我们随后推导出了压力项误差估计。利用隐式Euler方法,隐-显Euler方法,两步向后差分（BDF2）方法,隐-显BDF2方法和半离散有限元方法,我们得到了四类全离散有限元方法,并通过数值实验验证了所得到的理论结果。最后,我们简要总结了本文的主要工作,并根据文章的主要内容阐述了几个具有代表性且有待深入研究的问题。