【摘 要】
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设M ∈Mn(Z)是一个整数扩张矩阵,D(?)Zn是一个基数为|D|的有限数字集.由仿射迭代函数系{φd(x)=M-1(x+d)}d ∈D确定的自仿测度μM,D是满足自仿恒等式μ=1/|D|Σd∈Dμoφd-1
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设M ∈Mn(Z)是一个整数扩张矩阵,D(?)Zn是一个基数为|D|的有限数字集.由仿射迭代函数系{φd(x)=M-1(x+d)}d ∈D确定的自仿测度μM,D是满足自仿恒等式μ=1/|D|Σd∈Dμoφd-1的唯一概率测度.它的谱性与非谱性是谱自仿测度理论研究的重要内容.在本文中,我们重点研究Sierpinski垫上自仿测度非谱性质的第Ⅰ类问题,即在Hilbert空间L2(μ,M,D)中至多包含有限个正交指数系.对于平面和空间中Sierpinski垫上的一些有待解决的正交指数系有限性问题,给出了部分结果,分两部分进行说明.主要结果如下:第一部分,对于一般形式的空间Sierpinski垫T(M,D),其中M =diag[p1,p2,p3](M为整数扩张矩阵,p1,p2,p3 ∈ Z\{0,±1}),D = {0,e1,e2,e3},这里e1,e2,e3是R3上标准的单位正交基,相应的自仿测度μM,D正交指数系的有限性与无限性问题已经完全解决.但在有限情形中,当p1为偶数,p2和p3为奇数且p2≠p 时,关于空间L2(μM,D)上正交指数系的有限性问题只给出了猜测:它的最佳上界为数字“4”,并未给出证明.本文构造出了此空间上的一列五元素正交指数函数系,说明上述最佳上界为“4”的猜测是错误的,为进一步研究它的有限性问题提供了依据.第二部分,对于平面上的Sierpinski垫,自仿测度μM,D的谱性与非谱性问题已经得到解决.并且在非谱问题中,Hilbert空间L2(μM,D)上正交指数系的最佳个数也已经确定.但对于正交指数系的一般形式需进一步研究,本文依据傅立叶变换的零点集特征,得到了部分结果.
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