本文共分两章，主要研究了图的最小直径定向问题． 图的最小直径定向问题是在对单行街改造和流言传播等问题的研究中首次提出的，即如何把一个交通系统的每一条路改为单行路，使得任何两点均可互相到达且路程最长者达到最小．这两个问题由于其广泛的应用背景颇受人们关注，目前仍为研究热点． 一个无向图G的一个定向是指一个有向图D，它是给G的每条边定一个方向而得到的．如果G的定向D中任何两个顶点是互相可达的，则称D是G的一个强定向．一个连通无向图G中一条边e称为G的桥如果G-e不连通．单行街问题可以追溯到Robbins的经典论文，文中给出了著名的单行街定理：一个连通的无向图G有强定向当且仅当G无桥．当一个图G可以强定向时，它的直径便为有限的．如何给G定向使得其直径达到最小，便为图的最小直径定向问题． 对于一个无桥的连通无向图G，令D(G)表示G的强定向图的集族，对任意D∈D(G)，本文用d(D)(d(G))表示D(G)的直径．定义d(G)=min{d(D)|D∈D(G))．G(s<,1>，s<,2>，…，s<,n>)(此记号来自[2])为连通无向图G的顶点扩张图(n≥3，si≥2，i=1，2，…，n)，Koh和Tay在他们的论文[2]中得到不等式： d(G)≤d(G(s<,1>，s<,2>，…，s<,n>))≤d(G)+2因而所有形如G(s<,1>，s<,2>，…，s<,n>)的图被分为三类： φ<,i>={G(s<,1>，s<,2>，…，s<,n>)|d(G(s<,1>，s<,2>，…，s<,n>))=d(G)+i)，i=0，1，2同时他们还提出一个猜想[2]：如果无向图G的直径大于或等于3，则G的顶点扩张图G(s<,1>，s<,2>，…，s<,n>)不属于第三类图φ<,2>，即G(s<,1>，s<,2>，…，s<,n>)∈φ<,2>，(s<,i>≥2，i=1，2，…，n)．该问题举出反例和给出证明都很困难． 本文第一章在前人论文的基础上，得出了树的2-顶点扩张图T<(2)>的最小直径定向图的两个基本性质，单圈图直径的计算方法，并最终验证了此猜想在单圈图的顶点扩张图中的正确性，即当G是单圈图时猜想成立． 第二章研究了两条路强乘积的最小直径定向．Koh和Tay研究了路，圈，完全图等图类的乘积图的最小直径定向问题，本章则给出了两条路强乘积的最小直径定向．