本论文对几类发展型偏微分方程的数值求解问题进行了研究和分析,这些方程包括对流扩散方程、Burgers方程以及神经传导方程等.本文分别运用并行计算方法、差分方法及特征有限元方法,对一些具体的问题给出了相应的算法格式及其误差估计,并用数值试验证实了理论分析的正确性和计算格式的有效性.本文取得的主要结果概括如下:1.第二章研究了几类发展方程的并行数值算法.首先,利用Saulyev型非对称格式分别对一类对流扩散方程和Burgers方程建立了两种不同的交替分组并行计算格式,证明了这些格式的并行性以及无条件稳定性,最后用数值试验说明格式的精度和有效性.其次,对于一类非线性发展方程巧妙地使用了一种变换,实现了对其进行AGE的并行数值计算,得到了方法的无条件稳定性及并行性兼顾的结论.2.第三章对二类神经传播方程进行了差分方法分析和研究,本问题分别运用分片二次插值和双线性插值对两类神经传播方程构造出不同的特征差分格式,并且进行了数值分析.由于在沿特征线方向构造离散差分格式的过程中,可能会出现差分离散点落在区域之外和在解的陡峭前沿附近产生振荡的棘手问题,本文分别采用了新的可变时间步长和发展的UNO格式进行处理.3.第四章研究了一类非线性发展方程的交替方向差分格式.对这类非线性发展方程,应用交替方向差分格式[5]作进一步的研究.使用一种变换,通过增加人工扰动项,得到了算子乘积型的有限差分格式.利用算子分裂技巧得到了新型Douglas[10]形式的交替方向差分格式,实现了交替方向求解,把高维问题化成若干个独立的一维问题用简便易行的追赶法求解,计算效率大大提高.本章还给出了差分解关于时间和空间二阶精度的误差估计.数值试验证明了所给格式的稳定性和有效性,以及理论分析的正确性.4.第五章对几类非线性发展方程运用交替方向(特征)有限元法进行了分析.本章考虑了以下问题:(1).对一类非线性发展方程应用一种恒等变换技巧,建立了交替方向有限元格式,这种格式避免了普通的交替方向有限元方法先逼近u,再逼近u<,t>而造成的两次误差积累的产生.使用张量积计算、H<1>模估计及先验估计理论和技巧,得到了最佳的L<2>模误差估计.(2).对一个血吸虫病数学模型(一类反应扩散方程)构造了交替方向有限元格式,给出了模型(P)的交替方向Galerkin逼近法和收敛性分析.(3).对一类半线性反应对流扩散方程组提出了交替方向特征有限元方法.