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本文分两部分，第一部分包括本文的第二章和第三章，是有关无符号拉普拉斯特征值的一些新进展，而第二部分即本文的第四章，是有关单圈图的完全非正则度. 设图G是点集为V(G)，边集为E(G)的简单图，｜V(G)｜=n，｜E(G)｜=e(G).记｛q1(G)，q2(G)，…，qn(G)｝是G的无符号拉普拉斯特征值且q1(G)≥q2(G)≥…≥qn(G)≥0.对于正整数κ∈{1，2，…，n｝，记G的前κ大无符号拉普拉斯特征值之和为S+κ(G)=∑κi=1qi(G).对于任意一个非零实数α，记G的非零无符号拉普拉斯特征值的α次幂之和为Sα(G)=h∑i=1qi(G)α，其中h为G的非零无符号拉普拉斯特征值的个数.另外，图G的完全非正则度定义为irrt(G)=1/2∑u，v∈V｜dG(u)-dG(v)｜. 在本文的第一章，我们介绍了和本文相关的基本概念和性质，以及有关S+k(G)，Sα(G)和完全非正则度irrt(G)的概况，其中包括F.Ashraf等提出的有关S+κ(G)的猜想:对于任意的n阶图G及任意的κ∈｛1，2，…，n｝，都有S+κ(G)≤e(G)+（κ+12）成立. 在第二章，我们首先给出了在给定图G的某些参数的情况下S+κ(G)的一些上界，然后证明了F.Ashraf等提出的猜想对于以下情况是成立的:连通图（当κ充分大时），单圈图，双圈图，三圈图（κ≠3），并指出当G为c-圈图及κ满足某些条件时，该猜想中S+κ(G)的上界是不可达的.最后，我们提出了几个猜想以便后续研究. 在第三章，我们得到了n阶连通二部图的Sα(α≤1)的上界以及连通度不大于κ的n阶连通图的Sα(α≥1)的上界，同时给出相应的极图，并提出了几个关于Sα的猜想以便后续研究. 在第四章，我们引入了两个研究单圈图完全非正则度的变换，研究了单圈图的完全非正则度，得到其最大值，并刻画了达到最大完全非正则度n2-n-6的单圈图.