【摘 要】
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本文分为三章。在第一章中,我们考虑调和分析的一个基本问题：Kakeya极大函数估计。我们使用一个新的方法给出Wolff关于Kakeya极大函数在三维空间中的L5/2估计。这是迄今为止最好的结果。通过使用组合数学的技巧与一个辅助极大函数的L2-估计,我们回避了尺度归纳技术。第二章考虑分数阶自由Schrodinger方程解的点态收敛问题。我们的方法取自于Bourgain在这问题上的最新突破。其核心思想
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本文分为三章。在第一章中,我们考虑调和分析的一个基本问题：Kakeya极大函数估计。我们使用一个新的方法给出Wolff关于Kakeya极大函数在三维空间中的L5/2估计。这是迄今为止最好的结果。通过使用组合数学的技巧与一个辅助极大函数的L2-估计,我们回避了尺度归纳技术。第二章考虑分数阶自由Schrodinger方程解的点态收敛问题。我们的方法取自于Bourgain在这问题上的最新突破。其核心思想就是应用多线性限制性估计。最后在第三章,我们着重介绍Zoll流形上非线性Schrodinger方程的一致局部适定性。我们的主要工具是Bourgain空间与基于多线性特征函数估计的多线性Strichartz估计。关于非线性Schrodinger方程的Cauchy问题,在近几十年来有着非常活跃的研究,涌现出不少成果。特别是在以调和分析和泛函分析为主要工具,研究其整体解的存在唯一性、散射理论、爆破现象和爆破机制等核心数学问题上,人们已经取得了非常多的进展。然而,我们在实际应用中,常常会考虑非均匀介质中的问题,这就对应着流形上的问题,相应的算子成为变系数算子。
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