在现代科学计算中，寻找和设计简单高效的数值算法变得非常重要。在求解椭圆边值问题的方法中，由Xu[112]提出的两层网格方法是一种非常实用的有限元离散方法。借助于两层网格子空间，对于复杂的问题（例如非线性或非对称不定问题)只需花很小的代价在粗网格空间求解原问题，而在细网格空间上求解相对简单的问题。因此两层网格离散方法可以减少很多计算量。　　 对于求解由有限元方法离散椭圆问题得到的线性方程，多重网格方法是一种最优的数值方法。其收敛速度与网格的步长无关且总体工作量为O(N)，其中N表示问题的未知量个数。多重网格方法已成功地应用于流体计算、结构力学计算和高度非线性的半导体器件模拟计算等领域。　　 本文在前人工作的基础上继续讨论了两层网格离散方法和多重网格方法。主要内容共分为四章。在第一章中，首先介绍了有限元离散方法，并通过两个简单问题描述了两层网格离散方法。然后简单介绍了多重网格的发展历史和现状，并列举了常用的光滑子。　　 在第二章中，针对非线性椭圆问题，基于修正牛顿迭代法给出了新的两层网格算法。在细网格空间上求解非线性问题简化成在粗网格空间求解两个问题（一个线性和一个非线性）和在细网格空间上求解两个具有相同系数矩阵的线性问题。理论分析表明粗网格步长H和细网格步长h在H1(Ω)范数下可选取为H=O(h(λ/7))，在L2（Ω)范数下可选取为H=O(h(1/4))。因此在粗网格空间非常小的情况下，仍能得到问题的最优解。基于Bai等[9]提出的HSS迭代法，针对非对称和非线性椭圆方程分别给出了新的两层网格算法。在细网格空间上求解原问题简化成在粗网格空间上求解原问题和在细网格空间上求解对称正定问题和带位移的反对称问题。收敛性分析表明，在一定的条件下，粗网格空间相对很小的情况下仍能得到最优精确解。数值例子表明新的算法具有很好的数值效果。　　 第三章主要讨论了HSS迭代法做光滑子时多重网格算法求解非对称线性椭圆问题。基于HSS迭代方法，给出了修改的加性和乘性光滑子。利用扰动分析的方法，在粗网格步长充分小的条件下，证明了基于这些新的光滑子的多重网格算法的收敛性。数值实验表明在这些新的光滑子作用下，多重网格算法具有最优复杂性，与阻尼Jacobi光滑子和Gauss-Seidel光滑子相比，HSS光滑子对粗网格步长的依赖性更小。　　 第四章主要讨论了自适应多重网格方法求解复系数二阶椭圆问题。近年来，随着电磁场问题研究的不断深入，产生了一些重要的复系数问题，例如时谐散射和辐射问题。以及由完美匹配层(PML)方法应用到散射问题和共振问题所产生的复系数问题。虽然这些实际问题比椭圆问题复杂，但是研究复系数椭圆问题是研究这些问题的基础[60]。在粗网格步长充分小的条件下，给出了基于Gauss-Seidel光滑子的自适应多重网格算法的收敛性证明。数值实验表明该算法对于求解复系数椭圆问题的有效性。