曲线曲面是计算机辅助几何设计(CAGD)中的主要研究对象，CAGD中的大多数操作都是以曲线曲面为基础的．而不论是参数曲线或者数据点的逼近问题，还是形状可控的曲线曲面的设计问题，它们都在实际生产中具有十分重要的实用价值，因而一直成为人们关注的热点之一．本文围绕这两类问题展开了深入的研究，取得了以下丰富的创新性理论成果：　　 1．有理曲线任意高阶导矢的hybrid多项式逼近：对于有理Bézier曲线的Hybrid多项式逼近问题，证明了当有理Bézier曲线的Hybrid逼近曲线满足收敛性条件时，那么Hybrid多项式曲线的任一高阶导数均一致收敛到有理Bézier曲线的同阶导数．这个结论保证了当我们用Hybrid逼近曲线来近似有理Bézier曲线的同时，使得其具有更高的几何接触阶，从而令有理Bézier曲线的逼近效率大大提高，逼近对象急剧扩展．其主要方法是利用Hybrid多项式在不同次数下的递推关系，将逼近的误差分析转化为对2s次Bernstein基函数以及一条n次有理Bézier曲线的高阶导矢的估计，此有理曲线的控制顶点依赖于Hybrid多项式曲线移动控制顶点的控制顶点，以及其凸包内的任意固定一点．　　 2．参数曲线曲面的渐进迭代逼近：给定初始数据点，通过不断的迭代调整混合曲线或曲面的控制顶点，由此得到一组曲线序列或者曲面序列，随着迭代次数的增加，参数曲线和数据点的距离越来越近，从而使得极限曲线或曲面能够插值初始的控制顶点，这一方法被称为渐进迭代逼近方法．如果只是插值给定数据点中的一部分而非全部，就得到局部渐进迭代逼近方法．本文将这一方法推广到三角域上，得出在均匀参数下三角Bézier曲面也具有这一渐进迭代逼近性质．主要的方法是利用多元Bernstein算子的特征值与单元Bernstein算子的特征值相同这一事实，得到三角Bernstein基函数在均匀参数处的配置矩阵的特征值取值范围．与此同时，本文创新地给出渐进迭代逼近曲线曲面的显式表示，不但计算简单且直接，而且其结果是精确值．另外，为了得到较快的收敛速度，文中还分析了带权局部渐进迭代逼近与三角Bézier曲面的带权渐进迭代逼近．在相同的迭代次数下，改进的方法具有更小的逼近误差．以往的讨论主要集中在基函数是全正基的情形，对于非全正基的情形，本文作了初步的探讨．　　 3．过给定测地线的近似极小曲面设计：测地线是CAGD中一类具有重要应用价值的空间曲线．给定测地线，过给定测地线的曲面设计由于其广泛的应用前景，近年来被许多学者所关注．另一方面，极小曲面或者近似极小曲面在工程中也有重要的地位．鉴于在服装鞋帽制造业及材料剪裁中广泛地采用过给定测地线且具有近似极小面积的曲面，本文把以上两种技术加以有机的结合，给出了简单、可行的方法来设计此种曲面，分别在弧长参数和一般参数下进行了讨论．最后，还有一些具体的实例验证了算法的正确与有效．　　 4．两类带形状参数的多项式曲线设计：在CAGD/CAD系统中，参数曲线曲面的表示及其形状控制一直都受到广泛的关注和研究，而这之中，基函数的选择又是至关重要的．基于Bernstein基函数的一些优良性质，它在CAGD/CAD系统中扮演着重要的角色．近年来，有不少文献研究了带形状参数的参数化曲线曲面．本文改进了Han等人[HMH08]提出的一类广义Bernstein基函数，不仅继承了传统Bernstein基函数的大部分性质，也保留了原广义Bernstein基函数的形状参数性质，同时还给出了其与传统Bernstein基函数的转化公式和升阶公式，给出了由改组基构造的新的Q-Bézier曲线曲面及其相应性质．与此同时，本文构造了带形状参数的DP-NTP曲线，还构造了三角DP曲面．基于上述曲线曲面的简洁的表达方式和直观的几何意义，它们在众多方面都具有一定的优越性，在几何设计中也有广阔的使用前景．