【摘 要】
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本文研究解析与组合数论中涉及到整数分拆、theta函数以及模形式的一些课题.主要结果如下:通过运用渐近分析的基本理论以及解析数论中的一些基本技术,我们建立了一些与Jacobi theta函数的倒数的Fourier系数以及由Dyson,Andrews及Garvan引进的整数分拆的crank,rank及k-rank统计量相关的一致渐近公式.这些量在整数的分拆理论、代数几何学以及理论物理学中有着重要的作
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本文研究解析与组合数论中涉及到整数分拆、theta函数以及模形式的一些课题.主要结果如下:通过运用渐近分析的基本理论以及解析数论中的一些基本技术,我们建立了一些与Jacobi theta函数的倒数的Fourier系数以及由Dyson,Andrews及Garvan引进的整数分拆的crank,rank及k-rank统计量相关的一致渐近公式.这些量在整数的分拆理论、代数几何学以及理论物理学中有着重要的作用与意义.主要结果改进了Bringmann、Manschot及Dousse等人在这方面的最新研究工作.其中的一些结果还改进和推广了Bringmann、Dousse及Mertens等人的关于Dyson的整数分拆的crank统计量的渐近性问题的研究的工作.通过运用Hardy–Ramanujan渐近公式以及解析数论中的一些基本技术,建立了一些与Andrews、Rhoades及Zwegers引进的严格成凹形组合方式的rank统计量以及Carlitz引进的二元整数的所有部分稳步减少的分拆的个数相关的一致渐近公式.运用theta函数理论,建立了一个新的Ramanujan型三角恒等式,并证明了Farkas和Kra在2001年提出的一个关于模函数的恒等式的猜想.
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