论文部分内容阅读
本文主要研究单位球面中具有某种特定Blaschke张量的无脐点浸入子流形，共建立了四个分类定理。具体的研究内容简述如下：
第一章，建立了实空间形式中具有平行平均曲率和常数量曲率的无脐点子流形的一个M(o)bius刻划，使得它们在M(o)bius子流形几何的意义下完全统一了起来。定理如下：
定理1.1.3设x∶M→Sn是一个无脐点的浸入子流形.如果x的M(o)bius形式Ф恒等于0，并且存在M上的光滑函数λ和平行M(o)bius法向量场ξ，使得Blaschke张量A，M(o)bius第二基本形式B，以及M(o)bius度量g满足下面的关系式：A+λg+〈B，ξ〉1≡0，(1.1.21)则λ必为常数，并且存在T∈O+(n+1，1)使得x和下面的一个浸入子流形T-等价：
(1)单位球面Sn中具有平行平均曲率向量场和常数量曲率的浸入子流形x∶M→Sn。
(2)欧氏空间Rn中具有平行平均曲率向量场和常数量曲率的浸入子流形u∶M→Rn在共形微分同胚σ∶Rn→Sn下的像。
(3)双曲空间Hn中具有平行平均曲率向量场和常数量曲率的浸入子流形y∶M→Hn在共形微分同胚τ∶Hn→Sn+下的像。
反之，通过直接计算，可以验证上述定理1.1.3中所提到的浸入子流形均满足定理的条件.因此，上述定理在共形的意义下把这些子流形用其Mobius不变量简单地统一了起来。
定理1.1.3是文献[1]和[2]中主要定理的推广。
第二章，借助于文献[3]中的思想方法，对单位球面Sm+1具有平行Blaschke张量的浸入超曲面进行了完全分类.在得到这个分类之前，首先构造了两类具有平行的Blaschke张量的新例子，其中的一些例子不具有平行的M(o)bius第二基本形式.这是十分有意思的。
主要定理如下：
定理2.1.4设x∶Mm→Sm+1(m≥2)是无脐点的浸入超曲面，如果它的Blaschke张量A是平行的，那么下面的情形之一成立：
(1)x是M(o)bius迷向的，因而它在局部上Mobius等价于：
(1a)单位球面Sm+1中具有常数量曲率的极小浸入超曲面，或
(1b)欧氏空间Rm+1中具有常数量曲率的极小浸入超曲面在σ下的象，或
(1c)双曲空间Hm+1中具有常数量曲率的极小浸入超曲面在τ下的象。
(2)x具有平行的M(o)bius第二基本形式，因而它在局部上Mobius等价于：
(2a)Sm+1中的标准环面SK(r)×Sm-K(√1-r2)，其中r＞0，K是正整数，或
(2b)Rm+1中的标准柱面SK(r)×Rm-K在共形微分同胚σ下的象，其中r＞0，K是正整数，或
(2c)Hm+1(-1)中的标准柱面SK(r)×Hm-K(-1/1+r2)在共形微分同胚τ下的象，其中r＞0，K是正整数.
(2d)例2.2.1中浸入超曲面CSS(p，q，r)，其中p，q，r是常数。
(3)x既不是M(o)bius迷向的，也不具有平行的M(o)bius第二基本形式.此时，x在局部上M(o)bius等价于：
(3a)例子2.2.2给出的极小浸入超曲面，或
(3b)例子2.2.3给出的非极小浸入超曲面。
第三章，着重研究单位球面中具有零M(o)bius形式和常数Blaschke特征值的无脐点浸入超曲面。研究的结果是下面的两个分类定理：
定理3.1.3设x∶Mm→Sm+1(m≥2)是无脐点的浸入超曲面.如果x的M(o)bius形式恒为零，并且具有两个不同的常数Blaschke特征值，则下面的结论之一成立：
(1)x是具有两个不同M(o)bius主曲率的M(o)bius等参超曲面，因而在局部上Mobius等价于：
(1a)Sm+1中的一个标准环面SK(r)×Sm-K(√1-r2)，其中r＞0，K是正整数，或
(1b)Rm+1中的一个标准柱面SK(r)×Rm-K在共形微分同胚σ下的像，其中r＞0，K是正整数，或
(1c)Hm+1中的一个标准柱面SK(r)×Hm-K(-1/1+r2)在共形微分同胚τ下的像，其中r＞0，K是正整数.
(2)x在局部上M(o)bius等价于：
(2a)例3.2.1中给出的极小超曲面，或
(2b)例3.2.2中给出的非极小超曲面.
定理3.1.4设x∶M3→S4是具有零M(o)bius形式的无脐点浸入超曲面.如果x的Blaschke特征值均为常数，则下述论断之一成立：
(1)x是M(o)bius迷向的，因而在局部上M(o)bius等价于：
(1a)球面S4中的一个具有常数量曲率的极小浸入超曲面x∶M3→S4，或
(1b)欧氏空间R4中的一个具有常数量曲率的极小浸入超曲面x∶M3→R4在共形微分同胚σ下的像，或
(1c)双曲空间H4中的一个具有常数量曲率的极小超浸入曲面x∶M3→H4在共形微分同胚τ下的像。
(2)x具有两个不同的Blaschke特征值，因而在局部上Mobius等价于：
(2a)S4中的标准环面SK(r)×S3-K(√1-r2)，其中r＞0同，K=1，2，或
(2b)R4中的标准柱面SK(r)×R3-K在共形微分同胚σ∶R4→S4下的像，其中r＞0，K=1，2，或
(2c)H4中的标准柱面SK(r)×H3-K(-1/1+r2)在共形微分同胚τ∶H4→S4下的像，其中r＞0，K=1，2，或
(2d)例3.2.1中对应于m=3,K=2的极小浸入超曲面，或
(2f)例3.2.2中对应于m=3,K=2的非极小浸入超曲面。
(3)x具有三个不同的Blaschke特征值并且在局部上M(o)bius等价于：
(3a)例3.2.3中对应于r≠1/√2的浸入超曲面CSS(1，1，r)，或
(3b)标准Veronese浸入曲面x∶S2(√3)→S4的一个具有常数半径的非极小管状超曲面，参见例3.2.4.