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Hopfπ-余代数是V.G.Turaev在研究三维流形及上链环上主π-丛的Henings-like与Kuperberg-like不变量的基础上引进的一类代数结构,是Hopf代数的一个推广,其中π为一离散群.本文主要讨论了几个代数结构的对偶问题.首先是将代数、模等的对偶推广到π-代数、π-模上,研究了π-代数、π-模和Hopfπ-代数的对偶结构及有关性质.然后在H余交换情形下,讨论右H-Hopf模范畴MHH中的Hopf代数和左A-Hopf模,最后给出了MHH中左A-Hopf模的结构定理.
论文主要分为以下三部分:
第一部分,引进本文用到的一些基本概念和记号.介绍π-代数、π-模、Hopfπ-代数、Hopfπ-理想及右H-Hopf模范畴等的定义.
第二部分,构造并证明了π-代数A的对偶A0是π-余代数,π-模M的对偶M0是π-余模,Hopfπ-代数A的对偶A□是Hopfπ-余代数(定理2.1.4,2.2.1,2.3.2).并探讨了π-理想与π-余理想,以及π-子模与π-子余模间的关系,证明了π-模同态的某种对偶是π-余模同态.
第三部分,主要在右H-Hopf模范畴MHH(设H余交换)中研究Hopf代数和左A-Hopf模.
首先,引进了MHH中Hopf代数A的概念,并在有限维情形下证明了其对偶A*及Hom(C, A)(C为MHH中有限维Hopf代数)也是MHH中的Hopf代数(定理3.1.4,3.1.6).另外,当H交换时,证明了两个Hopf代数的张量积仍是Hopf代数(定理3.1.7).
然后,定义了MHH中的左A-Hopf模,构造了两个左A-Hopf模的例子,且同样在有限维条件下证明了它是自对偶的(定理3.2.6).最后,给出了该范畴中左A-Hopf模的结构定理(定理3.2.7).