【摘 要】
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连通分次代数(特别是Koszul代数、d-Koszul代数等具有较好同调性质的代数)的PBW形变理论在过去的二十年中受到了广泛的关注和研究.对于一般的连通分次代数,Cassidy和Shelton
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连通分次代数(特别是Koszul代数、d-Koszul代数等具有较好同调性质的代数)的PBW形变理论在过去的二十年中受到了广泛的关注和研究.对于一般的连通分次代数,Cassidy和Shelton建立了判别PBW形变的充分必要条件—雅可比条件.雅可比条件本质是线性方程组的求解问题,其复杂程度与一个重要的同调不变量(代数的复杂度)有关.量子群是一类非交换非余交换的诺特霍普夫代数,而其负部分是一类诺特连通分次代数.它们均具有较好的同调性质.事实上,对于任意的有限维复半单李代数g,量子群Uq(g)及其负部分Uq-1(g)均是Artin-Schelter正则代数和斜Calabi-Yau代数.另一方面,量子对称对理论中出现了很多量子群负部分Uq-1(g)的PBW形变(简称量子群的PBW形变)的例子,其中的一些例子表现出了一定的对称性.基于以上事实,本文主要研究秩为2的量子群的PBW形变及其对称性.利用Cassidy和Shelton建立的雅可比条件,本文明确地给出了A2和B2型量子群PBW形变的结构系数所满足的充分必要条件,进而刻画了它们的对称PBW形变.对于G2型量子群,我们证明了一类只改变零次项的形变一定是PBW形变,并给出了它们何时是对称PBW形变的充分必要条件.
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