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本文考虑的Lotka—Volterra系统是由如下常微分方程组成的:
(x)j=xj(εj+n∑k=1ajkxk)(j=1,…,n).
上述系统的应用性非常广泛,也是应用数学领域中重要的方程模型之一.目前.它不仅广泛应用于物理、化学、生物、动态博弈论、经济和其他社会科学中,而且还被广泛应用于许多热门学科,如神经网络、生物反应、细胞演化、资源管理和病毒传播等.
众所周知,Lotka—Voltrra系统的动力学性质与其关联矩阵A=(ajk)的代数性质具有紧密的联系.因此,根据关联矩阵A=(sjk)的不同性质,可将Lotka—Voltrra系统进行以下分类:
·合作型(或竞争型),如果对任意j≠k,ajk≥0(或akj≤0)；
·保守型,如果存在一个对角矩阵D>0,使得AD是反对称的;
·耗散型,如果存在一个对角矩阵D>0,使得在二次型意义下,有AD≤0.
在Lotka—Voltrra系统的实际应用中,由于其关联矩阵A=(ajk)的数据不可能是完全精确的,故有必要对关联矩阵进行小扰动,从而就有稳定耗散概念.国内外对稳定耗散Lotka—Voltrra系统研究地相对比较少.本文主要研究的是五阶稳定耗散矩阵的代数充要条件及其对应的Lotka—Voltrra系统的动力学性质分析.
为了后面引用方便,本文首先回顾稳定耗散的Lotka—Volterra系统和广义Hamilton系统的相关知识和相关结果.然后利用前人的判定方法,对五阶矩阵给出了27类最大稳定耗散图对应的稳定耗散矩阵的代数充要条件.
文献[25]已经将五阶稳定耗散Lotka—Volterra系统的动力学性质分成了四类。其中类型Ⅰ已被讨论清楚,本文主要针对后三类系统进行动力学分析,特别是类型Ⅳ,其动力学性质是相当复杂的.主要借助Lyapunov次中心定理、扰动理论、Poincare截面和Lyapunov指数等理论和方法对三类系统的周期解存在性、不变环面及Hamilton混沌进行了分析与研究.