【摘 要】
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近年来,分数阶随机微分方程成为国内外数学研究的热门领域之一.一方面,随机微分方程在捕捉环境中一些无法忽视的噪声扰动中有着无法代替的作用.另一方面,分数阶微分方程是一门古老而又新鲜的研究领域,虽然长久以来由于缺乏建模背景的支撑,发展十分缓慢,但近些年来,人们关注到分数阶微分方程能描述复杂系统中的反常松弛过程,所以分数阶微分方程也越来越被学者所关注.随着分数阶方程的研究愈发深入,人们又注意到在利用分数
【基金项目】
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江苏省自然科学基金（编号:BK202014227）；
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近年来,分数阶随机微分方程成为国内外数学研究的热门领域之一.一方面,随机微分方程在捕捉环境中一些无法忽视的噪声扰动中有着无法代替的作用.另一方面,分数阶微分方程是一门古老而又新鲜的研究领域,虽然长久以来由于缺乏建模背景的支撑,发展十分缓慢,但近些年来,人们关注到分数阶微分方程能描述复杂系统中的反常松弛过程,所以分数阶微分方程也越来越被学者所关注.随着分数阶方程的研究愈发深入,人们又注意到在利用分数阶方程模拟动力学问题时,分数阶的阶数是与时间相关的变量而非常量.然而通常,这些方程的精确解难以获得,所以本文研究的是一类带有弱奇异核的非线性多项分数阶随机积分微分方程（MFSIDE）以及它的变分数阶方程型式.然而通常,这些方程的精确解是难以获得的,我们将致力于这些方程的数值方法的构造和理论分析.主要研究了 MFSIDE以及它的变分数阶随机积分方程型式的Euler-Maruyama（EM）数值格式,具体工作如下:在第二章中,首先利用随机积分微分方程中的Fubini定理将多项分数阶积分微分方程MFSIDE等价地转化为了随机Volterra积分方程（SVIE）.然后给出了该积分方程的EM数值格式,最后利用EM数值格式详细推导了 MFSIDE解的存在性、唯一性、稳定性问题.在第三章中,首先构造了 MFSIDE的改进EM格式,然后对改进EM格式在均方意义下的强收敛性给出了证明,并发现其收敛阶为αm-αm-1,其中αi为分数阶导数的指标,且满足0＜α1＜α2＜…＜αm＜1.最后,通过数值实验验证了分析结果的正确性.在第四章中,引入MFSIDE的变分数阶方程型式.为了证明该变分数阶随机积分方程解的适定性,我们限制两个变分数阶算子函数为[0,T]上的连续函数,发现可同样利用EM数值格式证明出该方程初值问题的解具有适定性.并且同样给出了相应的改进EM格式,证明了其收敛阶为分数阶导数的指标α,最后,通过数值实验验证了分析结果的正确性.
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