本文主要讨论两个方面的内容：构造两类新的算法，求出薄膜障碍问题的离散解；以及对松弛法求解简单摩擦问题的收敛速度进行深入的研究。通过运用一些数学技巧和工程思想对这两种模型展开理论分析，获得了一些重要的结果，最后列举一些数值例子，证实了本文的想法。薄膜障碍问题是第一类椭圆型变分不等式的代表性模型。为了确定薄膜的位移函数u(x)，本文提出了两类新的算法。一类算法的目的在于通过迭代找到障碍ψ(x)与薄膜u(x)接触的区域，在每一步迭代中需求解一个线性方程组。算法如下：解方程Au0=f，得到弹性膜的初始位置u0，则当n=0，1，2…，小参数ε＞0时，有i)计算di(n)=uni-ψ(xi)，i=1，…，N以及d(n)min=min1≤i≤Ndi(n)·ii)假如d(n)min≥0，则算法停止。否则Ω1(n)={Xi|d(n)min≤di(n)≤m(n)min+ε,0}iii)对于所有的i∈Ω1(n)，替换矩阵A和荷载向量f为ai,i=1,ai,j=0,j≠i,fi=ψ(xi).iv)求解Aun+1=f. 最后给出几个数值例子，证明了算法的可行性。第二类算法以相应的补问题为对象，通过迭代构造一个单调序列，求出问题的离散解。算法如下：i)给定初始值u(0)，满足不等式ui(0)≤ψi,(Ahu(0))i≤fi,i=1,2,...,Nii)当κ=0，1，2,…，时，对ui(k)≠φi的节点i，假设H1(k)={i|(Ahu(κ))i=fi}H2(k)={i|(Ahu(κ))i＜fi}则uk+1为u(κ+1)={ui(k),ifi∈H1(k)(1-ωi(κ)ui(k)+ωi(κ)ψi,ifi∈H2(k)其中参数0＜ωi(k)≤1ωi(k){1,ifui(k)=ψimin(1,fi-(Au(κ))i)/ai,i(ψi-ui(k))),ifui(k)＜ψi并且证明了算法的收敛性，最后给出几个数值例子加以说明。本文的第二部分主要研究了第二类椭圆型变分不等式的特例—简单摩擦问题。为了得到问题的有限元离散解，应用常见的松弛法，在已有收敛性结果的基础上，利用一些数学技巧进一步研究了该法的收敛速度，得到下述定理：对于任意的u0∈RN，松弛法得到的序列(un)n收敛到原不等式的解u，并且收敛速度仅仅依赖于系数矩阵A。并给出一些数值例子证实了该想法。