【摘 要】
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Poisson方程和Laplace方程起源于描述位势的牛顿经典力学方法,属于两类重要的偏微分方程,它们都属于典型的椭圆型偏微分方程。众所周知,Laplace方程和齐次情况下的泊松方程的求解是比较容易的,如算子组合法、多维边值的分裂外推法、守恒型差分格式以及能量方法。研究五点差分方法对于Laplace方程的离散化的问题是个传统基本问题,但是Laplace方程是基本偏微分方程,其算法可以推广到一般性的
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Poisson方程和Laplace方程起源于描述位势的牛顿经典力学方法,属于两类重要的偏微分方程,它们都属于典型的椭圆型偏微分方程。众所周知,Laplace方程和齐次情况下的泊松方程的求解是比较容易的,如算子组合法、多维边值的分裂外推法、守恒型差分格式以及能量方法。研究五点差分方法对于Laplace方程的离散化的问题是个传统基本问题,但是Laplace方程是基本偏微分方程,其算法可以推广到一般性的Poisson方程上。本文在其基础上,首先将其算法推广至一类具有非齐次项的Poisson方程求解.接下来,鉴于现有研究均考虑常系数的情况,本文将进一步提出适用于变系数方程的数值算法,这将是一大进步。另外,本文提出的算法是基于区域分解技术的并行数值算法,通过PETSC来实现,并使用超级计算机以提高运算速度。在理论方面,针对Helmholtz方程,本文借鉴Qian Tao教授提出了在再生核Hilbert空间（RKHS）中的自适应Fourier分解（AFD）的技术,证明了 Helmholtz方程的解空间是再生核Hilbert空间（RKHS）。并给出这个函数空间在Riemann流形上的弱预正交自适应Fourier分解的理论步骤,证明了其算法的收敛性。这类方程在描述并控制电磁波方面有很大的应用空间,进一步的工作可围绕本文所提出的理论来发展其数值算法.
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