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本文内容由六个章节组成.首先是引言部分;第一章介绍了Finsler流形上各种重要的几何量;在第二章引进了Finsler流形上两种重要的Laplace算子.第三章得到Ricci曲率有函数下界的条件下距离函数的Laplace比较定理,作为其应用,得到了Finsler流形上第一特征值的有界估计,将Riemann流形上S.Y.Cheng([21])和P.Li([28])的结果推广到Finsler流形上.第四章证明了Ricci曲率有负函数上界的距离函数的Laplace比较定理,作为其几何应用,得到第一特征值的下界估计.最后讨论了第二种Laplace算子,用热流方法讨论了紧致Finsler流形上调和映照的存在性定理.
首先介绍了一种与曲率向量有密切联系的Laplace算子.f:M→R为Finsler流形(M,F)上的光滑函数,则f的Laplacian为:△f:=div gardf这里f的梯度由Legendre变换l定义为:gradf=l-1(df).利用Euler--Lagrange方程,获得了不同曲率条件下的Laplace比较定理:当流形的Ricci曲率有函数下界时,作为其应用,我们获得了Finsler流形上第一特征值的上界和下界估计,特别是第一特征值的上界为仅依赖于n,k和d的常数.当流形的Ricci曲率有负的函数上界时,有:由此得到了Finsler测地球上第一特征值一个下界估计.文中定义的另一种线性算子是平均值Laplacian,用局部坐标表达为:该算子具有Riemann Laplace算子的重要特征:“自共扼”性.利用Finsler流形上的Bochner公式,证明了当目标流形的Riemann截曲率非正时,紧致Finsler流形上的任一可微映射可以形变为两流形间的调和映射.