【摘 要】
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偏微分方程（PDE）可以刻画许多实际问题,如病毒在人群中的传播情况,金融衍生品的价格等,所以求解PDE对物理、生物、金融等诸多领域都有重要的意义。然而高维PDE通常难以求解,传统方法在处理高维PDE时会遭遇”维数灾难”的现象,即计算量关于维度d的指数增长。本文主要介绍关于深度神经网络求解PDE的方法以及相关理论,包括对比三种常用的重要方法:物理信息神经网络法（PINN）,结合Feynman-Kac
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偏微分方程（PDE）可以刻画许多实际问题,如病毒在人群中的传播情况,金融衍生品的价格等,所以求解PDE对物理、生物、金融等诸多领域都有重要的意义。然而高维PDE通常难以求解,传统方法在处理高维PDE时会遭遇”维数灾难”的现象,即计算量关于维度d的指数增长。本文主要介绍关于深度神经网络求解PDE的方法以及相关理论,包括对比三种常用的重要方法:物理信息神经网络法（PINN）,结合Feynman-Kac公式对线性PDE解的深度神经网络近似以及用于近似半线性PDE解的深度倒向随机微分方程（BSDE）求解器。其中PINN方法较为简单对训练数据要求小,对维数不过高的问题有很好的处理效果。其余两种方法可以应用于金融组合投资、极端气候发生概率等问题引申出的一类高维PDE。在第四章中我们介绍深度神经网络克服维数灾难的理论,并指出结合多级Picard迭代的神经网络能有效克服一类高维半线性热偏微分方程的维数灾难问题,此时神经网络的参数个数关于PDE的维数和所求精度的倒数至多多项式增长。
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