【摘 要】
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三阶非线性色散偏微分方程是一类具有重要意义的非线性偏微分方程.它满足对称可积,完全可积的必要条件,并且通过作不同的变换可以得到三类著名的浅水波方程:KdV方程、Camassa-Holm方程以及Degasperis-Procesi方程.KdV方程在物理学的各个领域都有应用.近年来,对于时滞KdV方程的研究具有重要的意义.本文主要应用动力系统方法,尤其是几何奇异摄动理论,结合不变流形理论,隐函数定理,
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三阶非线性色散偏微分方程是一类具有重要意义的非线性偏微分方程.它满足对称可积,完全可积的必要条件,并且通过作不同的变换可以得到三类著名的浅水波方程:KdV方程、Camassa-Holm方程以及Degasperis-Procesi方程.KdV方程在物理学的各个领域都有应用.近年来,对于时滞KdV方程的研究具有重要的意义.本文主要应用动力系统方法,尤其是几何奇异摄动理论,结合不变流形理论,隐函数定理,阿贝尔积分等,研究扰动的三阶非线性色散偏微分方程和带有分布时滞的广义KdV方程孤波解和周期波解的存在性.全文包括如下四章:第一章简要介绍研究背景,意义以及本文所要研究的主要内容.第二章介绍一些基本概念以及预备知识.第三章研究扰动的三阶非线性色散偏微分方程的孤波解.在这一族微分方程里,有三个方程满足可积条件:KdV方程、Camassa-Holm方程以及Degasperis-Procesi方程.本章首先构造Hamiltonian函数,通过寻找同宿轨道来证明不带扰动的情况下方程孤波解的存在性;接着运用几何奇异摄动理论和不变流形理论,通过Melnikov函数判别法证明带有扰动的三阶非线性色散偏微分方程孤波解的存在性.第四章研究带有分布时滞的广义KdV方程的孤波解和周期波解,其在物理学、流体力学中有广泛的应用,描述了弱非线性回复力的浅水波.利用几何奇异摄动理论和不变流形理论,证明带有分布时滞的广义KdV方程孤波解和周期波解的存在性.通过阿贝尔积分的计算,得到极限波速的取值范围以及单调性.
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