本篇博士论文主要研究几类含有非局部项椭圆型偏微分方程的多解与变号解问题,旨在深入探究方程中的非局部项对方程在多解性与最小能量变号解存在性上的影响.本文研究内容包括分数次Brezis-Nirenberg问题,分数次Schr¨odinger方程,非线性Schr¨odinger-Poisson方程以及非局部Choquard型方程.全文共分为四章,其主要内容如下:　　第一章,首先介绍本论文所研究问题的历史背景,研究意义,发展现状和最新进展,然后简要阐述本文的工作并给出本文所需要的预备知识.　　第二章,研究如下分数次Brezis-Nirenberg问题　　{(??)α/2u=|u|2?α?2u+λu在?中, u=0在??上,　　其中α∈(0,2), N>(1+√2)α,2?α= N2N?α是分数次临界指标,?是RN中的光滑有界集和(??)α/2为分数次Laplacian算子.首先利用文[1]所介绍的α调和延拓技巧,将此该非局部方程转变成等价的局部方程.然后运用变分法中的限制性方法和Z2指标理论(或Krasnoselskii亏格理论),通过构造对称集合的方式,证明对于任意实数λ>0,该方程至少存在[ N+12]对非平凡解.此处[a]表示大于等于a的最小正整数.　　第三章,研究两类非局部方程最小能量变号解的不存在性.首先研究的是分数次Schr¨odinger方程　　{(??)α/2u+u=|u|p?1u在RN中, u∈Hα/2(RN),　　其中α∈(0,2), N≥3, p∈(2, N2N?α).通过引入奇对称Nehari流形,运用能量比较的方法,获得了该方程最小能量变号解和奇对称最小能量变号解的不存在性.然后运用类似的方法作用到非线性Schr¨odinger-Poisson方程　　{??u+u+λ?uu=|u|p?1u在R3上,???u=u2在R3上,　　其中p∈(3,5)和λ>0,同样得到了最小能量变号解和奇对称最小能量变号解的不存在性.由此发现,这两类非局部方程在最小能量变号解的不存在性上具有共同点,而且非局部项不改变所谓的”能量翻倍”性质.　　第四章,研究如下非局部Choquard型方程　　{??u=λ|u|p?2u+μ?(x)|u|q?2u???=|u|q u=?=0　　在?中,在?中,在??上,　　其中p∈[2,6), q∈(1,5),μ>0和?? R3是一个光滑有界区域.利用Nehari流形方法,我们首先证明λ,μ>0时基态解的存在性.然后通过变分理论,拓扑度,隐函数定理,广义Nehari流形方法和能量比较的方法,证明在μ>0条件下:当p∈(2,6),λ>0或p=2,λ<λ1时,若q≥2,则方程存在最小能量变号解;若q∈(1,2),λ>0,则方程不存在最小能量变号解;还有,当p=2,λ≥λ1时,对任意的q∈(1,5),方程始终存在基态解,且是最小能量变号解.此处,λ1表示??在零边界条件下的第一特征值.该结果不仅充分说明了q=2是该方程最小能量变号解存在的临界值,而且说明了非局部项λ?u|u|q?2u的存在使得其能量泛函与λ=0时具有完全不同的性质.