多孔介质流动模型([1][6][9][19][20][24][30][36][39][42][68][92])在油藏数值模拟、盆地发育、地下水污染与治理，CO2的埋存、海水入侵、煤层气开采、半导体技术、燃料电池、衣服和鞋的保温和排湿设计，墨水在纸张中的传播、土壤施肥控制等领域有广泛的应用。本文主要围绕油藏数值模拟和CO2埋存中的数值方法的研究和应用展开。　　石油是重要的战略资源。油藏数值模拟是油田开发方案和调整方案编制、动态预测等油藏管理的重要技术手段和基本工具[6]。因此，国际上大型的石油公司如荷兰的壳牌公司、美国的雪佛龙公司都有自己的数值模拟软件。国内的油田公司则需要购买国外的商业油藏模拟软件，但购买软件每年都需要支付高额的费用，并且购买的商业软件只有执行码，有时不能适应中国实际的地质条件。或者是软件需要的物化参数国内油田无法测出，或者油田测出的实验数据又无法应用到商业软件当中。为了摆脱以上困境，国内大型的油田公司或研究所也开发自己的油藏数值模拟软件。山东大学油藏数值模拟团队有几十年油藏数值模拟的经验，本文的部分内容就是我在山东大学学习和工作期间，有一半的时间参与了山东大学和油田的油藏数值模拟软件研制和开发的合作项目，对于在研发过程中遇到的数学问题进行的总结和分析。　　国内大型油田的早期开采的区块已经进入了高含水期，但仍然有剩余油未被开采，而三次采油技术，包括聚合物驱油、表面活性剂驱油、以及碱驱油，是进一步提高采收率的重要手段[20]。而相应的化学驱采油的数值模拟软件的研制和开发也被提上日程。在本文中，我们详细地介绍在软件研制和开发的过程中遇到的两个典型问题，一个是表面活性剂驱油中相对渗透率的插值，另一个是石油酸组分在油水两相流系统中的运移和分配。表面活性剂的注入会降低油水界面张力，提高油水毛管数，进而降低残余油和束缚水的饱和度，而残余油和束缚水饱和度的降低会改变油水的相对渗透率曲线，最终增加油水的流动性。相对渗透率曲线的插值就是根据当前的残余油和束缚水饱和度值来计算新的相对渗透率曲线。在著名的化学驱油藏数值模拟软件UTCHEM中[20][77]，相对渗透率曲线由经验公式给出，残余油和束缚水饱和度的值会影响到经验公式的参数，因此相对渗透率曲线的插值就是其经验公式参数的插值。但是，经验公式由相对渗透率的实验曲线回归得到，油田更希望直接用实验曲线来插值，我们给出了一个合理的相对渗透率曲线的插值方法。在化学驱数学模型中，大部分组分如聚合物、表面活性剂、阴阳离子仅存在于水相中，而石油酸组分既存在于油相中，又存在于水相中，并且在油水之间存在着质量交换[20][77]。因此，石油酸组分在油相或者是水相中的质量都是不守恒的，只有在油水中的总质量是守恒的。因此，我们需要求解石油酸组分的总浓度方程，求解出石油酸组分的总浓度，再根据PH值来计算石油酸在油水中的分配。　　随着煤炭等化石能源的大量使用，导致全球CO2的排放量剧增，导致温室效应([13][15][38][41][43][56][58][66][67][75][76])。降低CO2的排放是一个全球性的问题，CO2埋存就是一种降低CO2排放的有效方法([17][23][38][60][62][63][64])。CO12埋存是将产生的CO2收集起来，然后注入到地层当中。地下的盐水层、油气藏等封闭的地下区域，都可以作为CO2的储藏介质。并且盐水层、油气藏尺度很广，可以满足大量的CO2埋存的需求。所以，CO2埋存技术是在寻找到新的化石能源的替代能源之前，唯一一种可以有效的控制CO2排放的手段。CO2以凝聚态注入，小部分溶解到水中，并与岩石发生化学反应，也有小部分与水结合，变为湿的CO2，是一个复杂的物理和化学的过程。在本文中，我们仅仅研究CO2注入到盐水当中，在盐水中的流动过程的数值模拟。我们用ELLAM格式求解CO2和盐水的这一流动过程。盐水层、油气藏虽然是理想的CO2的储存场所，但是由于石油开采钻的油井破坏了盐水层、油气藏的封闭性，特别是早期废弃的油井，由于当时封堵技术不好，注入的CO2很可能泄漏到大气当中，或者泄漏到地下水中，污染地下水[17][23][61][65]。因此，本文也模拟CO2的泄漏过程。而由于早期废弃的油井缺乏相关的数据记录，所以也给CO2的泄漏带来了不确定性。另外，由于地质参数（如绝对渗透）资料的不完备性，也需要引入随机性来更准确的描述油藏地质。为此，我们假设绝对渗透率具有随机性，利用Karhunen-Loéve展开技术[14][31][40][51][54][59][73][74][90][91][92]和稀疏网格[14][73][74]求解高维积分技术来求解带随机系数的流动方程，得到了CO2泄漏量的均值和标准差，并且与传统的Monte Carlo方法作了比较。　　分数阶扩散方程是描述反常扩散的数学模型([11][57][69][71])。与传统的二阶扩散方程不同，分数阶扩散方程带来了新的数学问题[11][57][86]。其中，分数阶扩散方程有几种不同的表达形式，而Neumann边界条件也有几种不同的表达形式。本文给出了三种分数阶扩散方程和Neumann边界条件的搭配方式的有限元格式，并且发现离散得到的矩阵能够分解为几个简单矩阵相乘的形式，并且在一致网格和几何加密网格上进行数值实验，并对比了数值结果。　　有限体积方法是求解化学驱采油数学模型中组分浓度方程的常用的数值方法([6][9][20][36][42][68])，组分浓度方程是对流占优的对流扩散方程。我们对于带ε扩散项的一类对流扩散方程的有限体积格式，得到了不依赖于ε的最优一致误差估计。这个最优一致误差估计，结合对流扩散方程的稳定性估计，我们得到的最优一致估计收敛速度的系数仅仅依赖于初值和右端项的Sobolev范数，而不依赖于ε。我们还利用空间插值的技巧和稳定性分析，得到了在解的正则性不充足的条件下的最优一致误差估计，其收敛速度的系数仅仅依赖于初值和右端项的Besov范数，而不依赖于ε，后面的数值实验验证了我们的理论。　　本文的组织结构如下:　　在第一章中，介绍多孔介质流的数学模型，包括单相流数学模型、组分模型、黑油模型，介绍多孔介质流中的重要参数，如孔隙度、渗透率、相对渗透率等概念。　　在第二章中，基于第一章介绍的数学模型，我们研究多孔介质流在油藏数值模拟中的应用中遇到的两个问题，包括表面活性剂驱下相对渗透率的插值，以及求解石油酸在油水两相系统中的运移的数值方法。　　在第三章中，我们研究用ELLAM格式求解CO2埋存和泄漏问题，并且在假设绝对渗透率是随机变量的情况下，利用Karhunen-Loéve展开技术和稀疏网格求解高维积分技术，来求解带随机系数的流动方程，得到了CO2泄漏量的均值和方差。　　在第四章中，我们研究分数阶扩散方程，我们对于三种分数阶扩散方程和Neumann边界条件得到了相应的有限元格式，并且在均匀网格和几何加密网格上进行数值实验。　　在第五章中，我们分析带ε扩散项的一类对流扩散方程的有限体积格式，得到了在充分的正则性条件和不充分的正则性条件下不依赖于ε的最优一致误差估计。