【摘 要】
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在本文中，我们用N表小正整数集合.给定a，b , N ,不定方程（an-1）（bn-1）=x2解的情况引起了许多数学家的兴趣.如L. Szalay, L. Hajdu, J.H.E. Cohn,F. Luca, P.G. Walsh和乐茂华等先后研究过此类方程.2002年F. Luca和P. G .Walsh几乎解决了不定方程（an-1）（bn-1）=x2在2≤b≤a≤100范围内解的情况（除69
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在本文中，我们用N表小正整数集合.给定a，b , N ,不定方程（an-1）（bn-1）=x2解的情况引起了许多数学家的兴趣.如L. Szalay, L. Hajdu, J.H.E. Cohn,F. Luca, P.G. Walsh和乐茂华等先后研究过此类方程.2002年F. Luca和P. G .Walsh几乎解决了不定方程（an-1）（bn-1）=x2在2≤b≤a≤100范围内解的情况（除69种例外）.我们利用二次剩余，同余和Legendre符号等工具继续了此方面问题的研究.本文主要工作分为两部分.第-部分研究了F. Luca和P.G. Walsh[J.Number Theory 96（2002）, 152-173]中69种末解决情况中的5种，即（a,b）=（13,4）, （28,13）, （19, 9）, （33, 9）, （33, 3）时不定方程（an-1） （bn-1）=x2解的情况.具体地说，我们证明了不定方程（4n-1）（13n-1）=x2仅有正整数解:n=1，x=6:不定方程（13n-1）（28n-1）=x2仅有正整数解:n=1，x=18:不定方程（9n-1）（ 19n-1）=x2在正整数范围内如有解，则，n=1（ mod 900）;不定方程（9n-1）（ 33n-1）=x2在正整数范围内如有解，则。n=1 （mod 13440）;不定方程（3n-1）（ 33n-1）=x2在正整数内如有解，则。n=1 （mod 3600）.第二部分酬二究了满足-类条件的正整数a,b，方程（an-1） （bn-1）=x2解的情况.具体地说，我们证明了:若。a三3, 19, 67, 83, 131, 147, 171, 179 （mod 200），则不定方程（2n-1） （an-1）=x2在n≥2时无正整数解:若a三5, 85（ mod 200）且。a-1是完全平方数，则不定方程（2n-1） （an-1）=x2在n≥2时无正整数解.
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