长期以来，多项式正定性的判定与配平方和问题一直是数学界讨论的热点。比如说，事实上在研究许多问题时候这些问题都可以用代数的语言来表达出来，从而问题都可被化为代数的问题来研究。在这些代数问题中某些问题最终会归结为一个多项式不等式组，其中就会涉及到对某些多项式的正定性的判定。　　 在多项式的正定判定问题当中，少变元低次数的对称多项式形式正定性判定吸引了很多学者去研究。例如对偶的三个变元的六次、八次、十次对称形式的正定性研究。因此本文仍然就一类少变元低次数的对称多项式形式的正性判定问题和其配平方和问题展开讨论。　　 本文首次对具有零点(1，1，1，1)的四元四次对称形式和四元偶八次对称形式进行分析(若无特别说明，本文中所指的四元四次对称形式和四元偶八次对称形式均是具有零点(1，1，1，1))，使得大家能够很方便的判断这些元素的正定性并能够容易的配平方。本文的大体内容如下：　　 在第一章引言部分里主要说明了本文的研究目的，方法。　　 在第二章主要介绍多项式的一些基本概念和性质以及多项式判别系统。　　 在第三章主要介绍一些多项式正性判定以及配平方和问题的已有结果和本文的主要工作即半正定的四元四次对称形式和四元偶八次对称形式集合的结构刻画。　　 在第四章主要介绍围绕多项式正性判定和配平方和问题所做的一些其它工作。　　 在第五章主要总结全文内容，并提出下一步工作的设想。