本文主要讨论某些非线性偏微分方程的Legendre tau方法及其多区域方法．　　 谱方法与广为应用的有限元方法和有限差分方法已经成为数值求解偏微分方程的三大基本方法．谱方法，以其具有高精度的优点，被越来越广泛地应用于数值求解各种微分方程.在谱方法中，试探函数可以取整体无穷可微的函数，而根据检验函数的不同取法，谱方法可以分为Galerkin方法，tau方法和配置方法．　　 自1938年Lanczos发展了谱tau方法至今，tau方法在微分方程的数值求解上已经得到广泛的应用.不仅如此，tau方法对于某些问题的理论分析也有比较好的结果.比如，tau方法，或者是更一般的Petrov-Galerkin方法对于求奇数阶微分方程的L2误差分析可以得到比Galerkin方法或者配置方法更好的结果．然而，tau方法对于某些偶数阶微分方程的误差估计还是存在不理想的结果.另外，也有评论认为tau方法在精度上要比Galerkin方法和配置方法低.因此，这促使我们来进一步研究tau方法的一些收敛性质．通过本文的一些研究可以看到，tau方法或者Petrov-Galerkin方法对于某些问题具有与Galerkin方法相似的收敛性质．　　 本文的主要工作之一是证明了Legendre tau方法对求解一般边界条件下一维二阶线性稳态微分方程可以得到L2， H1和H2范数意义下的最优误差估计．对于一维二阶发展方程也可以得到L2范数下的最优误差估计，改进了此类问题原有的理论分析结果．对于非线性Burgers方程，本文提出了Legendretau-Chebyshev配置方法，即，总体上采用Legendre tau方法，但对非线性项用Chebyshev配置方法来逼近；在时间离散上，采用leapfrog/Crank-Nicolson格式，得到了L2范数下的最优误差估计．数值算例也符合了理论分析的结果.　　 然后，本文研究了二维问题的Legendre tau方法．首先改进了Poisson方程的Legendre tau方法给出的H1误差估计，证明了Legendre tau方法可以得到H1范数意义下的最优估计.然后通过对偶技巧，得到相应的L2最优误差估计．接着，讨论了涡度方程的Legendre tau方法，给出了半离散格式的稳定性和收敛性分析．　　 通过细致的分析和数值试验还可以看出，tau方法的收敛性态与解的奇性有关.当解在边界上有奇性时，所得到的结果还是不很理想．　　 本文还讨论了Legendre tau多区域方法和一阶变系数方程的预处理Lcgendre tau方法，构建出算法格式，并且给出了误差估计.