论文部分内容阅读
本文首先利用变分方法和山路引理，研究了Dirichlet边界条件下一个新的非局部问题的非平凡解的存在性与多重性，然后利用椭圆型问题现有的结论以及本文给出的函数变换，研究了全空间中三类典型Kirchhoff型问题正解的存在性以及与之相关的临界或超临界指数Kirchhoff型问题非平凡解的不存在性. 首先，考虑如下带有Dirichlet边界条件的非局部问题{-(a-b∫Ω|▽u|2dx）△u=|u|p-2u,x∈Ω,（P1）u=0 x∈(e)Ω非平凡解的存在性与多重性，其中Ω是RN中的光滑有界区域，N≥1，常数a,b＞0，并且有2＜p＜2*={2N/N-2,N≤3，∞， N=1，2. 主要结果为 定理1问题(P1)在H10(Ω)中至少有一个非平凡弱解. 定理2问题(P1)在H10(Ω)中至少有一个非负非平凡弱解和一个非正非平凡弱解. 其次，考虑以下三类Kirchhoff型问题(a+λ∫RN(|▽u|2+|u|2)dx（-△u+u)=|u|p-1u,x∈RN，（P2）-(a+λ∫RN(|▽u|2+|u|2)dx）△u+u=|u|p-1u, x∈RN（P3）和-（a+λ∫RN|▽u|2dx△u+μu=|u|p-1u,x∈RN（P4）正解的存在性，其中空间维数N≥2，参数λ＞0，常数a＞0，μ＞0，1＜p＜2*-1，以及{(a+b∫RN(|▽u|2+|u|2)dx(-△u+u)=|u|p-1u, x∈RN,u∈H1(RN)∩Lp(RN),(P5){-(a+b∫RN(|▽u|2+|u|2)dx)△u+u=|u|p-1u,x∈RN,u∈H1(RN)∩Lp(RN)(P6)和{-(a+b∫RN|▽u|2dx）△u+μu=|u|p-1u，x∈RN，u∈H1(RN）∩Lp(RN)(P7)非平凡解的不存在性，其中N≥3，p≥2*-1，常数a，b，μ＞0. 记U是问题-△u+u=|u|p-1u，x∈RN的唯一正径向解. 主要结果为 定理3(1)当N=2，3且1＜p＜3时，或者当N≥4且1＜p＜2*-1时，记λ0=(p-1)(3-p)3-p/p-1/22/p-1a3-p/p-1∫RN(|▽U|2+|U|2)dx，则当λ∈（0，λ0）时，问题（P2）有两个正解;当λ=λ0时，问题（P2）有一个正解;当λ∈（λ0，∞）时，问题(P2)无非平凡解. (2)当N=2，3且p=3时，记λ1=1/∫RN(|▽U|2+|U|2)dx，则当λ∈(0，λ1)时，问题（P2）有一个正解;当λ∈[λ1，∞）时，问题(P2)无非平凡解. (3)当N=2，3且3＜p＜2*-1时，问题（P2）有一个正解. 定理4(1)当N=2时，记λ0=1/∫RN|U|2dx则当λ∈（0，λ0）时，问题(P3)有一个正解;当λ∈[λ0，∞）时，问题(P3)无非平凡解. (2)当N≥3时，记λ1=(Λ1/2-N-4/2∫RN|▽U|2dx-N-4/2a∫RN|U|2dx)/(Λ1/2+N/2∫RN|▽U|2dx+N/2a∫RN|U|2dx)（N-2）N-2/2（∫RN|U|2dx）N-4/2/(Λ1/2+N-4/2∫RN|▽U|2dx+N/2a∫RN|U|2dx)N-2/2,其中Λ=(N-4)2/4(∫RN|▽U|2dx)2+N2/4a2（∫RN|U|2dx）2+N2-4N+8/2a∫RN|▽U|2dx∫RN|U|2dx,则当λ∈(0，λ1)时，问题(P3）有两个正解;当λ=λ1时，问题(P3）有一个正解;当λ∈（λ1，∞）时，问题(P3)无非平凡解. 定理5(1)当N=2，3时，对于任意的λ＞0，问题（P4）有一个正解. (2)当N=4时，记λ0=μNp-N-2p-3/2p-2/∫RN|▽U|2dx，则当λ∈（0，λ0）时，问题（P4）有一个正解;当λ∈[λ0，∞）时，问题(P4)无非平凡解. (3)当N≥5时，记λ1=2μNp-N-2p-2/2p-2(N-4)N-4/2/aN-4/2(N-2)N-2/2∫RN|▽U|2dx,则当λ∈(0，λ1)时，问题（P4）有两个正解;当λ=λ1时，问题（P4）有一个正解;当λ∈(λ1，∞)时，问题（P4）无非平凡解. 定理6如果N≥3，p≥2*-1，常数a，b＞0，则问题（P5）只有零解. 定理7如果N≥3，p≥2*-1，常数a，b＞0，则问题(P6)只有零解. 定理8如果N≥3，p≥2*-1，常数a，b，μ＞0，则问题（P7）只有零解. 全文结构如下: 第一章介绍了非局部问题和Kirchhoff型问题的研究背景以及近年来的研究进展. 第二章陈述了本文所要用到的变分法的相关知识. 第三章首先给出了问题(P1)的变分结构，其次利用山路引理证明了问题(P1)非平凡解的存在性与多重性. 第四章首先利用本文给出的函数变换将三类Kirchhoff型问题分别化为由一个微分问题和一个积分问题组成的三类方程组，进一步，结合椭圆型问题现有的结论证明了问题(P2)-(P4)非平凡解的存在性.最后，用同样的方法对(P5)-(P7)非平凡解的不存在性结果做了讨论. 第五章对全文做了总结，并对今后的研究做了一些展望.