最近十几年来,越来越多的数学工作者开始关注具有变指数的偏微分方程,部分工作可参见专著[44]以及其中的文献.究其主要原因是这类问题在物理学中的重要应用.带有变指数的偏微分方程模型主要来源于电流变流体（electro-rheological fluids） [99];它为某些带有粘性的电流变流体的电力学性质提供了更好的数学解释.这种模型主要描述了向导体施加外界电场时,导体能够承受电流剧烈改变的电力学性质.这种性质在现代科学技术上有重要应用,例如医疗恢复器械、激波吸收器、电动制动器、离合器等等.带有变指数的偏微分方程模型所描述的Newton流体还可以描述应用热动力学中的一些演化现象、非齐次媒质的热与物质交换以及非Newton流体的热对流效应[9].这类偏微分方程模型还可应用于弹性力学[116],变分方法[35]以及图像去噪、图像恢复[34]等方面.特别地,在数字图像恢复中,考虑非标准增长条件更为合理并且有很多优点,其中的一个重要方面就是所谓的‘阶梯效应’.确切地讲,研究带有非标准增长条件的泛函,一方面可以保留原始图像的边缘部分,另一方面又可以形成原始图像中所没有的边缘.这样就大大有利于图像恢复的实现.本论文主要研究带有变指数的抛物型和椭圆型方程的弱解、重整化（renormalized）解或熵（entropy）解的存在性问题.我们在变指数Sobolev空间框架下讨论解的存在性,研究的主要内容包括带有非局部项的双重退化抛物型方程的弱解、带有一阶梯度项且梯度增长阶为p（x）的抛物型p（x）-Laplace方程弱解以及重整化解、带有零阶项且主部退化强制的椭圆型p（x）-Laplace方程的重整化解以及熵解等.第1章主要是对本论文主要内容的介绍以及关于变指数Sobolev空间的一些预备知识.重点讲述在变指数框架下,相对于常指数的情形,我们所研究方程的难点、需要克服的典型的困难以及解决问题所使用的主要方法.在第2章,我们研究如下的双重退化抛物型p（x）-Laplace方程：其中,Ω是RN中的一个有界单连通区域,具有光滑边界（?）Ω. QT=Ω×（0,T）,ΓT= （?）Ω×（0,T）,T>0,τ∈（0,+∞）我们假定m>1,p∈C1,α（Ω）,并且p+=maxp（x）,函数α∈L∞（QT）,K∈L∞（QT）可以按T周期延拓到Ω×R.另外,我们设对几乎处处的（x,t）∈QT,有K≥0.我们主要借助于Leray-Schauder拓扑度的方法证明问题（2.1）非负非平凡弱解的存在性.首先对问题（2.1）做正则化,使之化为非退化方程；接下来对正则化方程的解做上界和下界的估计.其中正则化方程解的上界估计是关键的步骤,我们使用了改进的DeGiorgi迭代技术得到了该方程解的一致上界.通过选取合适的检验函数,得到这个方程解的正下界.利用Leray-Schauder拓扑度的同伦不变性,我们在一个圆环上找到了正则化方程的弱解,最后通过Minty的方法和取极限过程得到了问题（2.1）的非负非平凡弱解.在第3章,我们考虑下面带有一阶梯度项的抛物型p（x）-Laplace方程的初边值问题：其中,Ω （?） RN是有界域且具有光滑边界（?）Ω,QT=Ω×（0,T）,ΓT=（?）Ω×（0,T）,T>0是有限的,p（x）,B（x,t）,F（x,t）是给定的量.B∈L∞（QT）满足0≤B（x,t）≤b,其中b>0是一个常数.F是一个向量场满足|其中,并且我们主要借助于L∞估计的方法去研究方程（3.1）在空间V（定义详见第3章）中弱解的存在性.首先在变指数抛物方程的情形下使用改进的De Giorgi迭代技术,得到问题（3.1）的一致L∞界（与解u本身无关）.通过对方程右端梯度项做逼近得到原问题问题（3.1）的一致L∞界（与解u本身无关）.通过对方程右端梯度项做逼近得到原问题的扰动问题,对扰动问题可以做第一步的De Giorgi迭代得到逼近解序列un的一致L∞界.然后利用非线性检验函数的方法[53],对逼近问题做出估计并且取极限,从而得到问题（3.1）的弱解.前面两章主要关注带有非标准增长条件的抛物型方程的弱解存在性问题.在接下来的第4章和第5章,我们主要研究变指数的带有低阶项的抛物和椭圆型方程的重整化解和熵解.在第4章,我们研究下面的带有变指数PLaplace算子和梯度项的非线性抛物方程其中,Q（?）RN是具有光滑边界（?）Ω的有界域,QT=Ω×（0,T）,ΓT=（?）Ω×（0,T）,T>0是有限的；f∈L1（QT）,u0∈L1（Ω）.F是一个向量函数满足F∈（Lp’（x）（QT））N,其中p’（x）是p（x）的逐点Holder共轭函数.函数g（x,t,s,ζ）:QT×R×RN→R满足Caratheodory条件（详见第4章）；且有|g（x,t,s,ζ）|≤h（|s|）|ζ|p（x）+γ（x,t）,其中h是一个正的不减连续函数,λ>0且λ∈L1（QT）.此外,g满足如下的符号条件g（x,t,s,ζ）s≥0,对任意的（s,ζ）∈R×RN和几乎处处的（x,t）∈QT成立.我们对初值u0、梯度项g（x,t,u,▽u）以及右端项f做truncation逼近,从而得到问题（4.1）的逼近方程.回顾在前面第3章中得到逼近解序列um的几乎处处收敛的方法：事实上通过De Giorgi迭代所得到的un在L∞（QT）中一致有界起到了本质的作用.通过它得到了u。在弱解空间V中有界以及（?）un/（?）t在V+L1（QT）中有界,进而得到un的强收敛和几乎处处收敛.然而,在第4章,由于方程（4.1）右端项的可积性不够好,这使得我们无法像第3章那样得到un的L∞一致界以及un的几乎处处收敛.我们采用Truncation方法.首先,通过对Tk（un）（定义详见第4章）做一些先验估计,先去证明un是依测度收敛的.根据Riesz定理,通过抽子列得到子列的几乎处处收敛.然后,最关键的工作是选取适当的非线性检验函数以及对逼近解序列做出合适的估计.最后通过取极限过程,我们得到了问题（4.1）的重整化解的存在性.在变指数Sobolev空间框架下,第5章考虑下面的带有零阶项和退化强制的非线性椭圆型方程的重整化解和熵解这里,Ω （?）RN是具有光滑边界aQ的有界域；f∈L1（Ω）.a（x,s）:Q×R→R是一个Caratheodory函数;且满足其中α>0,γ（x）∈C（Ω）,γ（x）≥0（这说明方程（5.1）中的主部项-div[a（x,u）|（?）u|P（x）-2（?）u]是退化强制的）；并且有|a（x,s）|≤β（|s|）,其中β：[0,+∞)→（0,+∞）是一个连续函数.函数g（x,s）：Ω×R→R满足Caratheodorv条件,并且对任意的κ∈R+,有sup|g（x,s）|=hk（x）∈L1（Ω）, |s|≤k另外,g满足下面的符号性条件g（x,s）s≥0,对任意的s∈R和几乎所有的x∈Ω成立.这一章我们依然采用Truncation方法对逼近方程做估计.但是与前一章抛物型方程相比有很多不同.回顾第4章抛物型方程的情形：借助于初值u0的信息和适当的检验函数：容易得到逼近解序列u。在L∞（0,T;L1（Ω））中的一致有界性；以及在L1（QT）中的一致有界.然而在椭圆型方程中,用同样的方法得到逼近解序列u。在L1（Ω）中一致有界是不可能的.为了克服这个困难,我们使用带有变指数的Marcinkiewicz估计[100].采用这种估计,一方面能够克服由退化强制项所带来的困难,另一方面还可以使我们得到方程解u的正则性信息.借助于带有变指数的Marcinkiewicz估计的结果,不仅可以得到逼近解序列un。的几乎处处收敛性,还可以帮助我们处理方程的零阶项.通过选取合适的检验函数以及精确的取极限过程,我们得到了Tk（un）在W01,（P（x））（Ω）中的强收敛.基于此,我们证明了问题（5.1）重整化解和熵解的存在性.