非线性光学、分子生物学以及流体力学等领域中的孤子、畸形波等非线性现象可以用非线性发展方程来描述。本文以非线性光学、流体力学、分子生物学等领域中的非线性发展方程为依托,应用Darboux类变换和Hirota方法等数学方法解析地讨论了这些方程的孤子解、呼吸子解和畸形波解,从而分析了孤子、呼吸子以及畸形波的传播特点和它们相互作用的性质。本文的结构和主要安排如下:第一章简要介绍了非线性科学的背景,和以孤子和畸形波为代表的非线性波的研究进展。并且介绍了本文所用的一些研究孤子和畸形波现象的数学方法,和本文的主要工作及安排。第二章探讨的是非Kerr介质中一个耦合Kundu-Eckhaus系统,这个系统描述了五次非线性对超短光脉冲在介质中传播的影响。我们利用Darboux变换和矩阵分析相结合的方法研究了耦合Kundu-Eckhaus系统向量有理和半有理畸形波的传播特点。对于耦合Kundu-Eckhaus系统,我们首先应用规范变换,推导出N阶Darboux变换和N阶向量有理和半有理畸形波解。根据这些解,我们得到了三种类型的三角形结构的二阶向量畸形波:第一种类型的二阶向量畸形波的两个分量均包含三个四花瓣型畸形波,第二种类型的二阶向量畸形波的两个分量均包含三个眼睛型的畸形波,第三种类型的畸形波的一个分量含三个反眼睛型的畸形波、另一个分量包含三个眼睛型的畸形波。关于三阶向量畸形波,我们展示了合并、三角形和五边形的结构。此外,我们还展示了一阶和二阶向量半有理畸形波,这种半有理畸形波描述了畸形波和呼吸子共存的现象。第三章研究的是一个高阶耦合非线性Schr(?)dinger系统,这个系统描述了光纤中两个超短光脉冲的同时传播。我们利用Darboux变换和矩阵分析相结合的方法,研究了这个系统的暗-亮孤子、半有理孤子和呼吸子。首先,对于高阶耦合非线性Schr(?)dinger系统的混合形式,我们构造了暗-亮单、双孤子解,N阶暗-亮半有理孤子解;对于高阶耦合非线性Schr(?)dinger系统的聚焦形式,我们构造了 N阶呼吸子解。然后,根据这些解,我们用图像分析了相应的暗-亮单、双孤子,一阶和二阶暗-亮半有理孤子和呼吸子的性质。第四章研究的是一个四阶耦合非线性Schr(?)dinger系统,这个系统描述了超短光脉冲在双折射光纤中的传播。在本章中,我们主要研究了四阶耦合非线性Schr(?)dinger系统的向量呼吸子。首先,对于四阶耦合非线性Schr(?)dinger系统,我们用loop群方法构造了 N为正整数的N阶Darboux变换和相应的向量呼吸子解。基于这类解,我们画图研究了四种不同类型的呼吸子:(1)第一种的一个分量包含反眼睛型呼吸子,另一个分量包含眼睛型呼吸子;(2)第二种的两个分量均包含四花瓣型的呼吸子;(3)第三种的两个分量都包含眼睛型的呼吸子;(4)第四种的每个分量都包含一个Y型呼吸子。此外,我们还发现随着|γ|的减小,呼吸子沿时间轴的范围减小、呼吸子与时间轴之间的夹角增大,其中γ表示高阶线性和非线性效应的强度。第五章研究了可以描述光脉冲在非均匀光纤中同时传播的四阶耦合变系数非线性Schr(?)dinger方程。我们通过广义Darboux变换构造了这个方程的一阶和二阶畸形波解。在此基础上,我们分析了群速度色散系数和四阶色散系数对畸形波的影响,并展示了具有眼睛型分布的畸形波,一阶畸形波与孤子的相互作用,有一个最高波峰的二阶畸形波和具有三角形结构的二阶畸形波,且发现当群速度色散系数或四阶色散系数的值增大时,一阶畸形波的范围增大。通过调整群速度色散系数和四阶色散系数,可以改变组合畸形波相邻波之间的时间间隔。此外,我们还得到了周期畸形波,并发现随着群速度色散系数的周期和四阶色散系数周期的减小,周期畸形波的周期逐渐减小。第六章研究了三耦合四阶非线性Schr(?)dinger方程,这个方程描述了 α螺旋蛋白质链中的动力学特性,针对这个方程我们主要研究了向量多畸形波。首先,我们借助Darboux-dressing变换得到了该方程的向量多畸形波解。基于这样的解,我们画图描述单个的向量畸形波,向量畸形波对和三体向量畸形波。其中,单个向量畸形波的两个分量上是有两个波峰和两个波谷构成的四花瓣型畸形波,而第三个分量上是一个眼睛型畸形波。在α螺旋蛋白中,随着高阶线性和非线性效应强度的增大,畸形波存在的时间逐渐减少。我们还得到了向量畸形波对的分离和合并,以及三体向量畸形波。此外,我们通过线性稳定性分析验证了方程的基带调制不稳定性。第七章研究了流体力学和等离子物理等领域中一个的Kadomtsev-Petviashvili-based系统。我们先介绍了这个系统的产生背景,然后利用Hirota方法得到了它的双线性形式和Backlund变换,进而构造了 Wronski行列式形式的N-孤子解,可以证明,用Wronski行列式表示的N-孤子解是满足双线性形式和Backlund变换的。之后通过用Wronski行列式表示的N-孤子解,我们得到了扭结型-类暗孤子和平行孤子,它们在传播过程中宽度和振幅保持不变。第八章总结本文的工作,指出了本文工作的不足,展望了未来的研究工作。