在动力系统的研究中,系统的混沌性研究占有十分重要的地位.近年来,拓扑混合、拓扑传递、Li-York混沌、Devaney混沌、分布混沌及正拓扑熵等刻画系统复杂性的概念引起了许多专家的兴趣.自从Li和York的论文《周期3意味着混沌》发表以来,许多专家开始了混沌的研究.该文利用分布混沌的概念,证明在分布混沌的意义下,存在区间[0,1]上的连续映射,其混沌集的Lebesgue测度为1,我们称为几乎处处分布混沌.设X为紧致度量空间,f∈C(X,X),←lim(X,f)是逆极限空间,σ<,f>是←lim(X,f)上的移位映射.我们证明,当f是满射时,σ<,f>是分布混沌的当且仅当f是分布混沌的.我们引入拓扑复杂性的概念,证明系统(X,f)的任开覆盖有有限复杂性当且仅当它的逆系统(←lim(X,f),σ<,f>)的任开覆盖有有限复杂性.在分支流形-树上,我们得到树映射是总体拓扑传递的(totally transitive),当且仅当它是拓扑混合的.并进一步证明,混沌集为满测度的树映射的集合在拓扑混合的树映射的集合中是稠密的.在一维动力系统中,有两个广为人知并深刻反映了区间上连续自映射动力学性质的结果,即Sarkovskii定理和Bowen-Franks-Misiurewicz定理.前者反映了区间上连续自映射的周期点的周期间的制约关系,后者反映了区间上连续自映射的周期及其拓扑熵之间的关系.该文在分支流形(树或图)上对这方面问题作了进一步研究和推广.非线性泛函,在不规则约束下的最优化问题,因其应用背景极其广泛,已经有了很多研究.但对于它的最优解的存在性,由于函数空间是无限的,证明有较大的困难.该文在一定的约束条件和边界条件下,采用无限维问题有限化的方法,证明了最优解的存在性.截断切割是工业部门对材料的一种加工方式,该文给出一种求最优切割方式的数学模型和算法.