符号矩阵论是组合矩阵论的一个新兴的研究分支，是近年来在组合数学中 较为活跃的一个研究方向。该理论主要研究矩阵的仅与其符号模式有关的定性 性质。符号矩阵论最早起源于经济学中对某些问题的定性性质的研究，其开创性 工作由诺贝尔奖获得者、经济学家P.Samuelson作出(参见文献[15])。由于符号 矩阵论在经济学中有着重要的应用背景，从而引起了经济学家、数学家及计算 机理论专家的广泛关注。1995年，R.A.Brualdi与B.L.Shader关于符号矩阵论 的专著《Matrices of Sign-solvable Linear Systems》([16])的问世极大地推动了符 号矩阵论的发展，它全面系统地总结了符号矩阵论领域的研究成果，给出了许 多新的结论，提出了许多新的研究课题，从而使符号矩阵论成为组合数学新兴 的研究热点之一。 本文的研究内容主要涉及两个方面：一是powerful与非powerful符号矩阵的 幂序列与广义基指数的研究；二是极大，NS阵的分支数与非零元个数的研究。 非负矩阵的幂序列一直是组合矩阵论中的一个重要的研究方向(相关文献参 见[1]，[4]，[5]，[13]，[14]，[24]，[34]，[37]，[44]，[47]，[48]，[55]，[67]等)。1994年，Z. Li，F.Hall和C.Eschenbach在文献[35]中首次将对非负矩阵的幂序列的研 究推广到符号矩阵。他们引入了“powerful”符号矩阵的概念，继而定义并 研究了powerful符号矩阵的周期与基指数，并给出了一个不可约符号矩阵 为powerful符号矩阵的特征刻划。在符号矩阵的概念被推广到复符号模式矩 阵与ray模式矩阵后(参见文献[20],[33]，[41]，[62]，[63]等)，Z.Li，F.Hall和J.L. Stuart在文献[36]中进一步将powerful符号矩阵的概念推广到powerful ray模式矩 阵。同时，J.Stuart等在文献[19]，[61]，[62]，[63],[64]等中研究了与矩阵幂序列 相关的k-幂等矩阵。 我们注意到，尽管文献[35]中将非负矩阵的幂敛指数的概念推广到了符号 矩阵的基指数，但是基指数的概念仅仅对powerful的符号矩阵有定义。当A是 非powerful的n阶符号矩阵时，A的某一个幂次已经可以不再是符号矩阵，故此 时A的基指数也就没有定义，再对其进行研究更是无从谈起。 在本文中，我们通过利用文献[35]，[64]中引入的广义符号集合T={0，1，-1， #}及相应的广义符号矩阵，将powerful符号矩阵和非powerful符号矩阵(及其可 能不再是符号矩阵的各个幂次)统一纳入到广义符号矩阵的范畴之内，从而进 一步将符号矩阵的基指数的概念从powerful符号矩阵推广到了非powerful符号矩 阵(乃至一般的广义符号矩阵)的“广义基指数”。在此基础上，我们通过利用图 论、数论和矩阵论的多种方法相结合的技巧，以“违规圈对”和“三同一异”途径 对的关系为基本切入口，对非powerful不可约符号矩阵(乃至一般的不可约符号 矩阵及不可约广义符号矩阵)的广义基指数的上界，极矩阵刻划及指数集进行了 有效的研究。得到了如下一些结论： 1. 在§2.3中，我们得到了非powerful本原符号矩阵与一般本原符号矩阵的广 义基指数的最好上界，即：当n≥5时，若A是n阶(非powerful)本原符号矩 阵，则l(A)≤2n2-3n十2，等号成立当且仅当A的伴随有向图同构于D1(如 图2.1之(a)).同时我们指出了上述矩阵类的广义基指数集合都不是连续的正 整数集，即存在间隙。 2.在§2.3中，我们还研究了A的带号伴随有向图S的不定号指标γ(S)，证明 了d(S)+γ(S)+exp(S)也是非powerful本原符号矩阵的广义基指数的一个可 达上界，这里d(S)是S的直径。 3.在§2.4中，我们得到了非powerful非本原符号矩阵与一般非本原符号矩阵的 广义基指数的上界，即：设A是n阶(非powerful)不可约符号矩阵，其非本原 指标为p(≥2)，设n=pγ+s，这里γ=[n/p且0≤s≤p-1([x]表示不大 于x的最大整数)，则l(A)≤p(2(γ-1)2+γ)+s. 4. 在§2.4中，我们还得到了一般不可约符号矩阵和不可约广义符号矩阵的广义 基指数的最好上界，并且指出上述矩阵类的广义基指数集合都不是连续的 正整数集。 5. 在§2.5中，我们给出了一般本原符号矩阵的广义基指数达到上界时的极矩阵 刻划，并给出了几个例子来说明(非powerful)非本原符号矩阵的广义基指数 的上界也是最好的。 显然，powerful符号矩阵与powerul带号有向图的广义基指数即为基指数。 Cr-cockades是一类具有许多良好性质的十分有用的有向图。在文献[35]中关 于powerul符号矩阵(及powerful带号有向图)的基指数的研究中，有一节专门研 究了负Cr-cockades的基指数，并给出了一些与之相关的关系式。我们在本文第 三章中对负Cr-cockades的基指数乃至一般powerful符号矩阵的基指数作了进一 步的研究，得到了如下的一些结论： 1.在§3.2中，我们研究了负Cr-cockades的基指数，所做的主要工作如下： (1)指出了文献[35]中一个与”基指数等于1”相当的结论一般说来不一定 成立。然后，在定理3.2.1中给出了任意负Cr-cockade的基指数的一个简明的 计算公式，即l(D)=d-γ+1(其中D为负Cr-cockade，而d是D的直径)。 (2)确定了所有n阶非平凡的负Cr-cockades的基指数所构成的集合就 是｛1，2，…，n-γ}. 2. 在§3.3中，我们进一步讨论了一般的n阶powerful符号矩阵的基指数集合，证 明了所有n阶powerful符号矩阵的基指数所构成的集合就等于所有n阶非负 矩阵的幂敛指数所构成的集合。 本文研究的另一个专题是极大萨S2NS阵。 作为符号矩阵论中重要的研究内容之一的SNS阵与S2NS阵，近年来已得 到比较透彻的研究，也得到了许多经典结论(参见文献[8]，[10]，[11]，[15]，[16]， [18]，[28]，[19]，[52]，[53]，[54]，[65],[66]等)。但是对于极大S2NS阵的研究还远 不如对SNS阵与S2NS阵那样深入而完全。事实上，我们对其知之甚少(参见文 献[11]，[16]，[52]，[66]等)。在本文第四章中，我们以极大S2NS阵的结构和组合 性质为着眼点，主要对其可能的分支数与非零元个数进行了研究。所做的主要 工作如下： 1. 对任意的1≤k≤n，我们给出了恰含k个完全不可分分支的n阶极大S2NS阵 存在的充要条件，即：当n≤4时，存在的充要条件是k￠{2，3}；当n≥ 5时，存在的充要条件是k≠2. 关于极大S2NS阵的完全不可分分支个数，文献[11]和[16]中分别构造了 恰含1个完全不可分分支和恰含n个完全不可分分支的n阶极大S2NS阵的例 子。但迄今为止未见有其他例子或定理说明n阶极大S2NS阵的完全不可分 分支个数能否是2到n-1间的某个给定数k.本文通过引入极大S2NS带号有 向图的概念，用图论方法彻底解决了这一问题。 2.对于n阶极大S2NS阵的非零元个数构成的集合S(n)，迄今为止所知的结论 只有(参见[11]，[52])：当n≥4时， S(n)(∈){n，…，1/2n(n+1)}，3n-2∈ S(n)和1/2n(n+1)∈S(n).本文通过运用图论方法并给出极大S2NS带号 有向图的两种递归构造方法对集合S(n)进行了细致的研究，完全确定了 除2n+1到3n-4间的一段外的任一正整数是否在集合S(n)之中。 关键词：符号 矩阵 不可约 powerful 基指数 极大S2NS阵 有向图