【摘 要】
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本文研究薛定谔方程的逆问题中位势项p（x）的唯一性问题,研究的方程如下所示:（?）给定解在内部区域U（?）Ω的性态后,不但得到了位势项p（x）的唯一性,还得到了解关于位势项的连续依赖性.在研究方法上,本文主要是通过将方程进行偶延拓后再结合内部Carleman不等式的结果,同时利用中端时刻控制,证明了位势项的唯一性.首先,我们给出薛定谔算子在非退化权下的内部上的全局Carleman估计的结论,并详细
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本文研究薛定谔方程的逆问题中位势项p（x）的唯一性问题,研究的方程如下所示:（?）给定解在内部区域U（?）Ω的性态后,不但得到了位势项p（x）的唯一性,还得到了解关于位势项的连续依赖性.在研究方法上,本文主要是通过将方程进行偶延拓后再结合内部Carleman不等式的结果,同时利用中端时刻控制,证明了位势项的唯一性.首先,我们给出薛定谔算子在非退化权下的内部上的全局Carleman估计的结论,并详细的给出了证明推导过程.然后是本文的核心内容,研究薛定谔方程的逆问题中位势p（x）的唯一性,主要思想是通过将两个方程作差,把非线性逆问题转化成线性的情形,再利用薛定谔方程有反向解的性质,将解进行偶延拓,使方程中时间的范围从（0,T）延拓到（-T,T）,然后用中间时刻t=0时的值构建等式,最后结合Carleman不等式,得到内部上解对位势项p（x）的控制.本文的最后将内部控制位势的不等式结果推广到双边估计,得到解在内部区域上关于位势的连续依赖性,首先根据齐次化原理,得到双边估计,然后推广得到对应的薛定谔方程的能观不等式,再利用紧致——唯一性结论进而得到对称的双边估计.
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