【摘 要】
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在统计学的模型研究中,时间序列分析模型是一类重要的统计模型,主要研究事物随着时间的变化而发展的过程,寻找事物随时间变化而变化的规律,以此为基础预测事物未来的变化趋势.其中ARMA模型是时间序列分析的重要模型,其被广泛应用于金融、气象、人口预测等各个领域.在实际应用中,由于测量误差的客观存在性,我们所收集到的数据并非真实数据,而是被污染的数据.因此对存在测量误差的ARMA模型进行研究具有理论意义和应
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在统计学的模型研究中,时间序列分析模型是一类重要的统计模型,主要研究事物随着时间的变化而发展的过程,寻找事物随时间变化而变化的规律,以此为基础预测事物未来的变化趋势.其中ARMA模型是时间序列分析的重要模型,其被广泛应用于金融、气象、人口预测等各个领域.在实际应用中,由于测量误差的客观存在性,我们所收集到的数据并非真实数据,而是被污染的数据.因此对存在测量误差的ARMA模型进行研究具有理论意义和应用价值,其中对该模型的参数估计是实际建模过程中的重要环节.本文是在EM算法框架下对基于ARMA（p,q）模型的测量误差模型的参数进行估计.由于当ARMA（p,q）模型具有测量误差时,传统的极大似然估计难以给出解析表达式,于是本文采用EM算法对基于ARMA（p,q）的测量误差模型参数给出了迭代估计.首先,本文对基于ARMA（p,q）模型的测量误差模型进行了定义.为了便于给出完全数据的似然函数表达式,本文提出了基于ARMA（p,q）模型的测量误差模型的一个等价定义.本文还讨论了基于ARMA（p,q）模型的测量误差模型的自协方差函数的性质.在此基础上,本文给出了基于ARMA（p,q）模型的测量误差模型参数估计的EM算法.EM算法分为E步骤与M步骤.在E步骤中,本文给出了模型的完全数据似然函数表达式、证明了隐变量的后验分布为正态分布,并给出了后验分布的均值和方差,由此给出不完全数据似然函数关于隐变量的后验分布的期望表达式.在M步骤中,根据不完全数据似然函数关于隐变量的后验分布的期望表达式,得到参数最优估计的解析表达式.在实施上述EM算法的过程中,由于需要对高阶矩阵求逆,从而使得算法难以实现.为解决这一问题,本文引入了Gibbs采样方法,通过对ARMA（p,q）测量误差模型的隐变量后验分布进行抽样,给出了隐变量后验分布的一阶矩、二阶矩的估计,从而给出模型参数的EM近似估计,弥补了算法中难以求解高阶矩阵的逆的缺点.最后基于ARMA（1,1）测量误差模型利用所提出的EM-Gibbs算法进行数值模拟.模拟结果表明,所提出的EM-Gibbs算法能有效的对ARMA测量误差模型进行参数估计,并且随着算法迭代次数的增加,估计精度也随之提升.此外,本文还对EM算法初始参数选取进行讨论.本文利用基于ARMA（p,q）模型的测量误差模型的自协方差函数的性质,给出了模型参数的矩估计,把参数的矩估计作为EM算法迭代的初始参数.本文的创新点主要有以下两点:一是给出了基于ARMA（p,q）的测量误差模型的EM算法M步骤的参数最优估计的解析解;二是通过结合Gibbs采样算法,规避了高阶矩阵求逆问题,使得EM算法更容易实施,较好的解决了ARMA（p,q）测量误差模型的参数估计问题.
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