【摘 要】
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近年来,由于非线性科学在各个研究领域发展迅速,非线性偏微分方程的求解问题也随之成为热点.目前已经有许多学者提出了一些求解方案,然而由于方程的复杂性,没有研究出统一的求解方法.因此,我们还需要探究新的求解方法,或者把已有的方法加以改进,用于解决更为复杂的问题.基于此目的,本文将应用于Lie代数的优化系统理论推广至切代数,并以两个二阶非线性演化方程为例,给出了方程所容许的切对称,建立了切对称的一维优化
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近年来,由于非线性科学在各个研究领域发展迅速,非线性偏微分方程的求解问题也随之成为热点.目前已经有许多学者提出了一些求解方案,然而由于方程的复杂性,没有研究出统一的求解方法.因此,我们还需要探究新的求解方法,或者把已有的方法加以改进,用于解决更为复杂的问题.基于此目的,本文将应用于Lie代数的优化系统理论推广至切代数,并以两个二阶非线性演化方程为例,给出了方程所容许的切对称,建立了切对称的一维优化系统.然后利用优化系统对所研究的方程进行了对称约化,得到了与不等价对称相对应的约化方程和不变解.本文的研究工作具体如下:首先简述了偏微分方程的研究背景和现状,介绍了一些关于切对称的理论.其次根据切对称的相关理论,讨论了第一个二阶非线性演化方程的解析性质.第一步,计算了方程容许的切对称群,建立了切对称群的优化系统.第二步,基于所求的优化系统,对所研究的方程进行了对称约化,得到了与不等价对称相对应的约化方程和不变解,并对所得不变解进行了数值模拟.第三步,我们考虑了所得约化方程容许的Lie对称,找出了原方程的一些隐对称.最后用切对称理论对第二个方程做了对称群分析.求出了该方程的切代数,构造了该方程所容许的切对称的优化系统,并由此获得了方程的一些约化方程,不变解.
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