本文研究边值间题的Legendre谱、拟谱和谱T决速算法及其应用，取得了下列结果: 第二章给出一种求解高阶微分特征值间题数值解的快速直接Legendre谱Galerkin方法。该算法的关键在于构造适当的试验函数，以便离散变分间题的方程组对应于一个稀疏矩阵。 第三章考虑用Legendre谱配置法求解四阶与六阶微分特征值间题。通过选取适当的谱配置法，本文得到的方程组对应于一个中心对称矩阵，从而使运算量减少一半，实现快速算法。 第四章给出多维Helmholz方程的快速谱配置算法。本文依次给出中心对称与反中心对称的Legendre谱微分矩阵，一维间题的谱配置算法，通过矩阵分解法给出两维、三维间题的谱配置算法，以及处理多维间题的预处理方法。 第五章以一维Helmholz方程为背景，运用反向递推法和奇偶分解法建立了Legendre谱二方法的快速算法，该算法将原来的运算量从O(N2)降低为为O (N)，极大地提高了计算速度，而且舍入误差更小。 第六章考虑了Burger、方程的初边值间题。本文提出了一个全隐Legendre谱格式，它可以模拟原间题的全时间性态及守恒律。